Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:
;
;
;
.
Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, 6типов. Полную классификацию дал Плюккер[9].
По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.
Кубика y2 = x2 · (x + 1). Параметризация: t → (t2 − 1, t · (t2 − 1))
Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики A и B, имеющие 9общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
На кубике взяли точку A и провели из неё 2касательных к кубике — одна касается кубики в точке A, другая — в точке B. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y. Тогда X = 16Y[10].
Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в ℝ² есть4. Например, у кубики f(x, y) = 3x3 − 5y2x − 4x2 − 10yx + 10y2 − 6x + 20y + 12 график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки.
Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой[11][12].
Прямая пересекает кубику в точках A, B, C. Касательные, восстановленные к кубике в точках A, B, C, пересекают кубику второй раз в точках P, Q, R. Тогда точки P, Q, R также лежат на одной прямой[13][14].
Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако в последние 20лет XXвека были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик[15].
«Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на アーカイブされたコピー(неопр.).Дата обращения: 8 февраля 2016.Архивировано 12 июня 2008 года.).
См. также Weisstein, Eric W.Cubic Curve(англ.) на сайте Wolfram MathWorld., (недоступная ссылка), (недоступная ссылка), , Архивная копия от 7 февраля 2016 на Wayback Machine, , , (недоступная ссылка), , .
