Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Касательное пространство к гладкому многообразию в точке — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к в точке обычно обозначается или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто .
Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.
Касательное пространство в точке к подмногообразию определяется аналогично.
В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.
Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.
Пусть — гладкое многообразие и . Рассмотрим класс гладких кривых таких, что . Введём на отношение эквивалентности: если
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .
Элементы касательного пространства определяются как -классы эквивалентности ; то есть
В карте такой, что соответствует началу координат, кривые из можно складывать и умножать на число следующим образом
При этом результат остаётся в .
Эти операции продолжаются до классов эквивалентности . Более того, индуцированные на операции уже не зависят от выбора карты. Так на определяется структура векторного пространства.
Пусть — -гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию в точке называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов сопоставляющих каждой гладкой функции число и удовлетворяющих следующим двум условиям:
На множестве всех дифференцирований в точке возникает естественная структура линейного пространства:
Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для -дифференцируемых многообразий, ). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).
Пусть — -дифференцируемое многообразие, — кольцо дифференцируемых функций из в . Рассмотрим кольцо ростков функций в точке и каноническую проекцию . Обозначим через ядро гомоморфизма колец . Введем на структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма , и будем далее отождествлять и . Имеет место равенство [1]. Обозначим через подалгебру , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке в каждой карте; обозначим . Заметим, что .
Рассмотрим два векторных пространства:
Если , то имеет размерность континуум, а содержит как нетривиальное подпространство; в случае или эти пространства совпадают (и )[3]. В обоих случаях можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований со значениями в , для вектора формула задаёт инъективный гомоморфизм в пространство дифференцирований со значениями в (структура вещественной алгебры на задается аналогично ). При этом в случае получается в точности определение, данное выше.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.