У этого термина существуют и другие значения, см.
Индикатор.
Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества
— это функция, определённая на множестве
, которая указывает на принадлежность элемента
подмножеству
.
Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».
Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.
Пусть
— выбранное подмножество произвольного множества
. Функция
, определённая следующим образом:
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc83d91f0008ec6a8ad74c7de9a8a1ffb82a1a1)
называется индикатором множества
.
Альтернативными обозначениями индикатора множества
являются:
или
, а иногда даже
а также скобка Айверсона
.
(Греческая буква
происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)
Предупреждение. Обозначение
может означать функцию идентичности.
Отображение, которое связывает подмножество
с его индикатором
инъективно. Если
и
— два подмножества
, то
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d8c435989a7a9e99591a8409d931026dc0bdd)
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e014d8b0c792fc1d1bd575f8b2f942c635f94e)
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A\triangle B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-2(\mathbf {1} _{A\cap B}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cf703987d9c5e5f18b4f4eeb76d12f8fb5e88b)
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A^{c}}=1-\mathbf {1} _{A}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4817943e227a36fef4f5fa8d0aabe96e5976e1)
Более обобщённо, предположим
— это набор подмножеств
. Ясно, что для любого
![{\displaystyle x\in X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![{\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a2ebdf576b2b24a29f2163391fdd5f5f07b400)
— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех
, которые не принадлежат ни одному множеству
и 0 иначе. Поэтому
![{\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5afe346b30ea8d23440abe3cc02676e2aa02b14e)
Разворачивая левую часть, получаем
![{\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edaa1ce69a9c13836bed17ed2c70a8deb13b0c1)
где
— мощность
. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если
— вероятностное пространство с вероятностной мерой
, а
— измеримое множество, то индикатор
становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности ![{\displaystyle A:}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef11a9011a94c416a5051ff441edd14571e6319d)
![{\displaystyle E(\mathbf {1} _{A})=\int \limits _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbf {P} =\int \limits _{A}d\mathbf {P} =\mathbf {P} (A).\quad }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b526750e5d368c6dab79a9bf6761defc5f39729)
Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.
- Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.