Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами[1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно[2] и названо по имени Хайнца Хопфа[3].
Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой[2]. Эта модель минимизирует длину верёвки[англ.] (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна [4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом[5].
В зависимости от относительной ориентации[англ.] двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1[6].
Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением[7] с описывающим словом[8] .
Дополнение зацепления Хопфа — , цилиндр над тором[9]. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах[10].
Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.
Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением[англ.]. С этого началось изучение гомотопических групп сфер[11].
Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа[12]. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс[3], а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха[англ.], основанной в XVI столетии.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.