числовая характеристика протяжённости этой кривой Из Википедии, свободной энциклопедии
Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й) — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат.rectificatio, спрямление).
Например, пусть непрерывная кривая в трёхмерном пространстве задана параметрически:
(1)
где , все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала на отрезков: . Соединение точек кривой отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных[2].
Длина дуги циклоиды (s) в зависимости от её параметра (θ)
Связанные определения
Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема[3].
Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).
Формула подразумевает, что и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.
В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:
.
Если плоская кривая задана уравнением где — гладкая функция на отрезке значений параметра , то длина кривой определяется по формуле:
В полярных координатах :
Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.
Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»[4][5].
В более общем случае произвольного метрического пространства длиной кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой :[a,b]\to X}
определяется согласно формуле:
где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям отрезка .
Декарт Р.Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта/Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича.— М.—Л.: Гостехиздат, 1938.— С.49.— 297с.— (Классики естествознания).
Оригинал цитаты на французском языке: «la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes», см. Descartes R.Discours de la méthode....— 1637.— С.340.Архивировано 4апреля 2017года.