Граф Турана

Граф Турана T(n,r) — это граф, образованный разложением n вершин на r подмножеств, с как можно близким размером, и вершины в этом графе соединены ребром, если они принадлежат разным подмножествам. Граф будет иметь ${\displaystyle (n\,{\bmod {\,}}r)}$ подмножеств размером ${\displaystyle \lceil n/r\rceil }$ и ${\displaystyle r-(n\,{\bmod {\,}}r)}$ подмножеств размером ${\displaystyle \lfloor n/r\rfloor }$. Таким образом, это полный r-дольный граф

${\displaystyle K_{\lceil n/r\rceil ,\lceil n/r\rceil ,\ldots ,\lfloor n/r\rfloor ,\lfloor n/r\rfloor }.}$

Граф Турана
Назван в честь	Пал Туран
Вершин	n
Рёбер	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(r-1)n^{2}}{2r}}\right\rfloor }$
Радиус	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\infty &r=1\\2&r\leq n/2\\1&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
Диаметр	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\infty &r=1\\1&r=n\\2&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
Обхват	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\infty &r=1\vee (n\leq 3\wedge r\leq 2)\\4&r=2\\3&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
Хроматическое число	r
Обозначение	= T(n,r)
Медиафайлы на Викискладе

Каждая вершина имеет степень либо ${\displaystyle n-\lceil n/r\rceil }$, либо ${\displaystyle n-\lfloor n/r\rfloor }$. Число рёбер равно

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(n^{2}-(n\,{\bmod {\,}}r)\lceil n/r\rceil ^{2}-(r-(n\,{\bmod {\,}}r))\lfloor n/r\rfloor ^{2})\leq \left(1-{\frac {1}{r}}\right){\frac {n^{2}}{2}}.}$

Граф является регулярным, если n делится на r.

Теорема Турана

Графы Турана названы в честь Пала Турана, использовавшего их для доказательства теоремы Турана, важного результата в экстремальной теории графов.

По принципу Дирихле, любое множество из r + 1 вершин в графе Турана включает две вершины из одной и той же доли графа. Таким образом, граф Турана не содержит клику размера r + 1. Согласно теореме Турана, граф Турана имеет максимально возможное число рёбер среди всех графов без клик размера r + 1, имеющих n вершин. Киваш и Судаков (Keevash, Sudakov, 2003) показали, что граф Турана является единственным графом без клик размера r + 1, имеющим порядок n, в котором любое подмножество из αn вершин имеет по меньшей мере ${\displaystyle {\frac {r\,{-}\,1}{2r}}(2\alpha -1)n^{2}}$ рёбер, если α достаточно близко к 1. Теорема Эрдёша–Стоуна^[англ.] расширяет теорему Турана, ограничивая число рёбер в графе, не имеющем фиксированный граф Турана в качестве подграфа. Вследствие этой теоремы в теории экстремальных графов для любого запрещённого подграфа можно доказать похожие границы, зависящие от хроматического числа подграфа.

Особые случаи

Октаэдр, вершины и рёбра которого образуют граф Турана T(6,3).

Некоторые величины параметра r графов Турана приводят к замечательным графам, которые изучаются отдельно.

Граф Турана T(2n,n) можно получить удалением совершенного паросочетания из полного графа K_2n. Как показал Робертс (Roberts 1969), рамочность этого графа равна в точности n. Этот граф иногда называют графом Робертса. Этот граф является также 1-скелетом^[англ.]* n-мерного кографа. Например, граф T(6,3) = K_2,2,2 — это граф правильного октаэдра. Если n пар приходят на вечеринку и каждый человек пожимает руку всем, кроме своего партнёра, то данный граф описывает множество рукопожатий. По этой причине его также называют графом коктейль-вечеринки.

Граф Турана T(n,2) — это полный двудольный граф, и, если n чётно, это граф Мура. Если r — это делитель n, граф Турана является симметричным и сильно регулярным, хотя некоторые авторы считают, что графы Турана являются тривиальным случаем сильной регулярности и потому исключают их из определения строго регулярных графов.

Граф Турана ${\displaystyle T(n,\lceil n/3\rceil )}$ имеет 3^a2^b наибольших клик, где 3a + 2b = n иb ≤ 2. Каждая наибольшая клика образуется выбором одной вершины из каждой доли. Это число наибольших клик является наибольшим возможным среди всех графов с n вершинами, независимо от числа рёбер в графе (Мун и Мозер, 1965). Эти графы иногда называют графами Муна-Мозера.

Другие свойства

Любой граф Турана является кографом. Таким образом, его можно образовать из отдельных вершин последовательностью операций дизъюнктного объединения и дополнения. В частности, такую последовательность можно начать образованием всех независимых множеств графа Турана как дизъюнктного объединения изолированных вершин. Тогда весь граф является дополнением дизъюнктного объединения дополнений этих независимых множеств.

Чао и Новацки (Chao, Novacky, 1982) показали, что графы Турана хроматически единственны — никакие другие графы не имеют те же самые хроматические многочлены. Никифоров (Nikiforov, 2005) использовал графы Турана для нахождения нижней границы суммы k-х собственных значений графа и его дополнения.

Фолс, Повел и Снойинк (Falls, Powell, Snoeyink) разработали эффективный алгоритм для поиска кластеров ортологических групп генов в геноме путём представления данных как графа и поиска больших подграфов Турана.

Графы Турана имеют также ряд интересных свойств, связанных с геометрической теорией графов^[англ.]. Пор и Вуд (Pór, Wood, 2005) дают нижнюю границу Ω((rn)^3/4) любого трёхмерного вложения графа Турана. Витсенхаузен (Witsenhausen, 1974) высказал гипотезу, что максимальная сумма квадратов расстояний между n точками внутри шара в R^d единичного диаметра достигается на конфигурации, образованной вложению графа Турана в вершины правильного симплекса.

Граф G с n вершинами является подграфом графа Турана T(n,r) тогда и только тогда, когда G допускает справедливую раскраску в r цветов. Разложение графа Турана на независимые множества соответствует разложению G на классы цветов. В частности, граф Турана является единственным максимальным графом с n вершинами со справедливой раскраской в r цветов.

Примечания

Литература

• C. Y. Chao, G. A. Novacky. On maximally saturated graphs // Discrete Mathematics. — 1982. — Т. 41, вып. 2. — С. 139–143. — doi:10.1016/0012-365X(82)90200-X.
• Craig Falls, Bradford Powell, Jack Snoeyink. Computing high-stringency COGs using Turán type graphs.
• Peter Keevash, Benny Sudakov. Local density in graphs with forbidden subgraphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 2003. — Т. 12, вып. 2. — С. 139–153. — doi:10.1017/S0963548302005539.
• J. W. Moon, L. Moser. On cliques in graphs // Israel Journal of Mathematics. — 1965. — Т. 3. — С. 23–28. — doi:10.1007/BF02760024.
• Vladimir Nikiforov. Eigenvalue problems of Nordhaus-Gaddum type. — 2005. — arXiv:math.CO/0506260.
• Attila Pór, David R Wood. Proc. Int. Symp. Graph Drawing (GD 2004). — Lecture Notes in Computer Science no. 3383, Springer-Verlag, 2005. — С. 395–402. — doi:10.1007/b105810.
• F. S. Roberts. Recent Progress in Combinatorics. — Academic Press, 1969. — С. 301–310.
• P. Turán. On an extremal problem in graph theory // Matematiko Fizicki Lapok. — 1941. — Т. 48. — С. 436–452.
• H. S. Witsenhausen. On the maximum of the sum of squared distances under a diameter constraint // American Mathematical Monthly. — The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 10, 1974. — Т. 81, вып. 10. — С. 1100–1101. — doi:10.2307/2319046. — JSTOR 2319046.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cocktail Party Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Octahedral Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Turán Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.