Взаимнокорреляционная функция

Взаимнокорреляционная функция — стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Она часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

${\displaystyle (f\star g)_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}f_{j}^{*}\,g_{i+j}}$,

где ${\displaystyle i}$ — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение. В общем случае, для непрерывных функций f (t) и g (t) взаимная корреляция определяется как

${\displaystyle (f\star g)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(\tau )\ g(t+\tau )\,d\tau ,}$

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — два независимых случайных числа с плотностями распределения вероятностей соответственно f и g, тогда взаимная корреляция f ${\displaystyle \star }$ g соответствует распределению вероятностей выражения ${\displaystyle -X+Y}$. Напротив, свёртка f ${\displaystyle *}$ g соответствует распределению вероятностей суммы ${\displaystyle X+Y}$.

Свойства

Слева направо: свёртка, взаимная корреляция и автокорреляция

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязаны:

${\displaystyle f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)}$

поэтому, если функции f и g чётны, то

${\displaystyle (f\star g)=f*g}$

Также: ${\displaystyle (f\star g)\star (f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)}$

По аналогии с теоремой свёртки взаимная корреляция удовлетворяет

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f\star g]=({\mathcal {F}}[f])^{*}\cdot ({\mathcal {F}}[g])}$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.

Используется при обработке сигналов, например, для распознавания отраженного от объекта локационного сигнала (радаров, сонаров) в условиях помех. Также используется для анализа случайных процессов, например, в измерениях и статистике.

См. также

• Автокорреляционная функция
• Свёртка (математический анализ)
• Корреляция
• Теорема Хинчина — Колмогорова

Ссылки

• функция xcorr в MATLAB