Бесконечная система линейных алгебраических уравнений

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений — обобщение понятия системы линейных алгебраических уравнений на случай бесконечного множества неизвестных, определённое методами функционального анализа. Оно имеет смысл не над любым полем, а, например, над вещественными и комплексными числами. Также возможно прямолинейное обобщение методами собственно линейной алгебры, отличное от описанного в статье.

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений часто появляется в процессе решения разнообразных задач в физике и технике методом неопределённых коэффициентов, например в задачах теплопроводности, определения перигелия движения Луны в астрономии, в задаче определения статического прогиба прямоугольного тела с закреплёнными концами.^[1]

Определение

Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений называется бесконечное множество алгебраических уравнений первой степени относительно бесконечного множества неизвестных: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}=b_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,...}$. Решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется всякая последовательность чисел ${\displaystyle \left\{x_{k}\right\}}$, такая, что все ряды ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}}$, ${\displaystyle i=1,2,...}$ являются сходящимися к ${\displaystyle b_{i}}$. Решение ${\displaystyle \left\{x_{k}\right\}}$ бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется ограниченным, если числа ${\displaystyle x_{k}}$ образуют ограниченную последовательность.

Удобно рассматривать бесконечные системы линейных алгебраических уравнений в виде: ${\displaystyle x_{i}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{ik}x_{k}=b_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,...}$, ${\displaystyle c_{ik}=-a_{ik}+\delta _{ik}}$. Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется вполне регулярной, если существует такая положительная постоянная ${\displaystyle q<1}$, что ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|c_{ik}\right|\leqslant q}$.

Вполне регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное ограниченное решение ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}}$ при любой ограниченной совокупности свободных членов ${\displaystyle b_{i}}$. При этом, если ${\displaystyle b_{i}\leqslant B}$ для всех ${\displaystyle i=1,2,...}$, то ${\displaystyle \left|x_{i}\right|\leqslant {\frac {B}{1-q}}}$.^[2]

Бесконечный определитель

В матрице коэффициентов бесконечной линейной системы уравнений можно оставить лишь первые ${\displaystyle n}$ строк и ${\displaystyle n}$ столбцов и составить из них квадратную матрицу размером ${\displaystyle n\times n}$:

${\displaystyle A(n)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$

Обозначим определитель этой матрицы как ${\displaystyle \Delta (n)=det(A(n))}$.

Если существует предел: ${\displaystyle \Delta =\lim _{n\to \infty }\Delta (n)}$, то он называется бесконечным определителем, соответствующим матрице ${\displaystyle a_{ij}}$^[3].

Достаточное условие существования

Представим матрицу ${\displaystyle a_{ij}}$ в новом виде, выделив из её всех диагональных членов слагаемое, равное единице:

${\displaystyle a_{ij}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots \\a_{21}&a_{22}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&\cdots \\c_{21}&c_{22}+1&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{vmatrix}}}$

Для того, чтобы бесконечный определитель матрицы ${\displaystyle a_{ij}}$ существовал и обладал свойствами, аналогичными свойствам обычного определителя, достаточно, чтобы бесконечный двойной ряд ${\displaystyle \sum _{i,k=1}^{\infty }|c_{ik}|}$ сходился.^[3]

Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

Если у матрицы ${\displaystyle a_{ij}}$ бесконечной системы линейных алгебраических уравнений существует и не равен нулю бесконечный определитель и все её свободные члены ограничены по модулю (то есть существует положительное число ${\displaystyle M_{1}}$, такое, что ${\displaystyle |b_{k}|<M_{1},\forall k}$), то эта система имеет единственное ограниченное решение (то есть существует положительное число ${\displaystyle M_{2}}$, такое, что ${\displaystyle |x_{k}|<M_{2},\forall k}$), определяемое по формулам Крамера:

${\displaystyle x_{k}={\frac {\Delta _{k}}{\Delta }}}$,

где ${\displaystyle \Delta _{k}}$ — определитель, который получается из определителя ${\displaystyle \Delta }$ заменой элементов k-го столбца свободными членами.^[4]

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений

Примечания

1. Смирнов, 1933, с. 57-61.
2. Вулих, 1958, с. 215—218.
3. Смирнов, 1933, с. 64.
4. Смирнов, 1933, с. 65.

Литература

• Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики для техников и физиков. Том 3. — М.: Гостехтеориздат, 1933. — 736 с. — 22 000 экз.