Аксиома Плейфера
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Аксиома Плейфера — это аксиома, которая может быть использована вместо пятого постулата Евклида (аксиомы параллельности):
Если дана прямая на плоскости и точка вне этой прямой, максимум одна прямая, параллельная данной прямой, может быть проведена через точку[1].
Аксиома Плейфера эквивалентна аксиоме параллельности Евклида в контексте евклидовой геометрии[2]. Аксиома была названа именем шотландского математика Джона Плейфера. Фраза «максимум одна», это всё, что нужно, поскольку из остальных аксиом можно доказать, что хотя бы одна прямая существует. Утверждение часто записывается в виде, «существует одна и только одна параллельная». В «Началах» Евклида две прямые называются параллельными, если они не пересекаются и других описаний параллельных прямых не используется[3][4].
Аксиома используется не только в евклидовой геометрии, но и также в аффинной геометрии, в которой понятие параллельности является центральным. В условиях аффинной геометрии нужна более сильная форма аксиомы Плейфера (в которой «максимум одна» заменено на «одна и только одна»), поскольку аксиомы нейтральной геометрии не дают доказательство существования. Версия Плейфера аксиомы стала настолько популярна, что о ней говорят как об аксиоме параллельности Евклида[5], хотя она не является евклидовой версией аксиомы. Из аксиомы вытекает, что бинарное отношение параллельности прямых является серийным отношением[англ.].