Unghiurile lui Euler

Unghiurile lui Euler sunt cele trei unghiuri introduse de Leonhard Euler pentru a descrie orientarea unui solid rigid și pentru a descrie rotația acestuia în spațiu. Acestea sunt:

• θ - unghiul de nutație;
• ψ - unghiul de precesie;
• φ - unghiul de rotație proprie.

Se consideră sistemul de referință fix ${\displaystyle Ox_{1}y_{1}z_{1}}$ și sistemul de referință ${\displaystyle Oxyz}$, fixat solidar de rigid. Trecerea de la primul sistem la al doilea se poate executa în trei etape:

• se efectuează o rotație plană de unghi ${\displaystyle \psi }$ a sistemului de referință în jurul axei ${\displaystyle Oz_{1}}$ considerată fixă; sistemul de referință are o nouă poziție definită de axele ${\displaystyle Ox'y'z',\;\;Oz\equiv Oz'.}$ Axa ${\displaystyle Ox'}$ se mai notează și ON și se numește axa nodurilor;
• se menține fixă axa ${\displaystyle ON\equiv Ox'}$ și se execută în jurul acesteia o rotație plană de unghi θ și astfel sistemul de referință are o nouă poziție definită de axele ${\displaystyle Ox''y''z''}$ și anume ${\displaystyle Ox'\equiv Ox''.}$
• se mențina axa ${\displaystyle Oz''}$ fixă și se rotește în jurul ei sistemul de referință cu unghiul ψ care va fi definită de matricea de rotație ${\displaystyle [R_{\psi }].}$

Legătura între coordonatele unui vector exprimată în cele două sisteme de referință ${\displaystyle Ox_{1}y_{1}z_{1}}$ și ${\displaystyle Ox'y'z'}$ este:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{Bmatrix}x'\\y'\\z'\end{Bmatrix}}.}$