Teorema înălțimii

Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic sau teorema mediei geometrice este un rezultat în geometria elementară care descrie o relație între lungimea înălțimii de pe ipotenuză într-un triunghi dreptunghic și cele două proiecții ale catetelor pe ipotenuză. Teorema spune că: Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.^[1]

Notații pentru teorema enunțată.

aria pătratului gri = aria dreptunghiului gri: ${\displaystyle h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}}$

Teorema înălțimii

Desenul pentru √p  când q este 1

Fie CD ${\displaystyle \perp }$ AB , D ${\displaystyle \in }$ AB , Proiecția catetei CA pe AB este AD , Iar Proiecția catetei CB pe AB este BD. (vezi figura alăturată)

${\displaystyle CD={\sqrt {AD\cdot BD}}}$ sau

${\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD}$

Formula înălțimii

Fie CD ${\displaystyle \perp }$ AB, D ${\displaystyle \in }$ AB

Demonstrație (deducerea formulei): ${\displaystyle A\vartriangle }$ = ${\displaystyle {\frac {AC\cdot CB}{2}}}$ = ${\displaystyle {\frac {CD\cdot AB}{2}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle AC\cdot AB}$ = ${\displaystyle CD\cdot AB}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle CD}$ = ${\displaystyle {\frac {BC\cdot AC}{AB}}}$

${\displaystyle h={\frac {c_{1}\cdot c_{2}}{ip}}}$

unde: ${\displaystyle c_{1}}$ = cateta 1, ${\displaystyle c_{2}}$ = cateta 2 , ${\displaystyle ip}$ = ipotenuza