Seria lui Bertrand

Seria Bertrand este o serie definită prin:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha \ln ^{\beta }n}}},\!}$

unde ${\displaystyle \alpha \!}$ și ${\displaystyle \beta \!}$ sunt numere reale.

Este atribuită matematicianului francez Joseph Bertrand.

Exemple de serii Bertrand:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln n}},\;\;\sum _{n\geq 2}{\frac {\ln n}{n}},\;\;\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{{\sqrt {n}}\ln n}}.\!}$

Studiul convergenței

Pentru a studia convergența acestei serii, mai întâi se va ține cont de faptul că dacă ${\displaystyle \alpha <0,\!}$ atunci șirul ${\displaystyle {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!}$ nu este mărginit deci nu tinde la zero. Înseamnă că seria:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}},\!}$

este divergentă. De aceea se presupune că ${\displaystyle \alpha \geq 0.\!}$

Se vor considera cazurile:

• Cazul 1: ${\displaystyle 0<\alpha <1\!}$

Fie ${\displaystyle p={\frac {\alpha +1}{2}}.\!}$ Atunci ${\displaystyle \alpha <p<1.\!}$ Se remarcă faptul că:

${\displaystyle n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}={\frac {n^{p-\alpha }}{\ln ^{\beta }n}}.\!}$

Deoarece ${\displaystyle p-\alpha >0,\!}$ avem:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}=\infty .\!}$

Astfel, pentru ${\displaystyle N_{0}\geq 2,\!}$ avem:

${\displaystyle n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}>1,\!}$

ceea ce implică:

${\displaystyle {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}>{\frac {1}{n^{p}}}.\!}$

Deoarece ${\displaystyle p<1\!}$ rezultă că seria ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p}}}\!}$ este divergentă, deci și seria:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!}$

este divergentă.

• Cazul 2: ${\displaystyle \alpha >1\!}$

Fie ${\displaystyle p={\frac {\alpha +1}{2}}.\!}$ Deci ${\displaystyle 1<p<\alpha .\!}$ Avem:

${\displaystyle n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}={\frac {1}{n^{\alpha -p}\ln ^{\beta }n}}.\!}$

Deoarece ${\displaystyle \alpha -p>0,\!}$ rezultă:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}=0.\!}$

Astfel, pentru ${\displaystyle N_{0}\geq 2,\!}$ se obține:

${\displaystyle n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}<1.\!}$

ceea ce implică:

${\displaystyle {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}<{\frac {1}{n^{p}}}.\!}$

Seria ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p}}}\!}$ este convergentă deoarece ${\displaystyle p>1.\!}$ Rezultă că seria:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!}$

este convergentă.

• Cazul 3: ${\displaystyle \alpha =1\!}$

Considerăm funcția:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\ln ^{\beta }x}}.\!}$

E ușor de verificat că, pentru un x suficient de mare (mai exact ${\displaystyle x>e^{-\beta }\!}$), funcția ${\displaystyle f(x)\!}$ este descrescătoare. Vom demonstra atunci că:

${\displaystyle \int _{M}^{n+1}f(x)dx\leq {\frac {1}{(M+1)\ln ^{\beta }(M+1)}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}},\!}$

și

${\displaystyle {\frac {1}{M\ln ^{\beta }M}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\ln ^{\beta }(n-1)}}\leq \int _{M}^{n-1}f(x)dx,\!}$

unde M este un număr întreg astfel ales încât f(x) este descrescătoare pe ${\displaystyle (M,\infty ).\!}$ De remarcat faptul că ${\displaystyle \beta \neq 1,\!}$ deci:

${\displaystyle \int _{M}^{n+1}{\frac {1}{x\ln ^{\beta }x}}dx={\bigg [}{\frac {1}{1-\beta }}\ln ^{1-\beta }x{\bigg ]}_{M}^{n+1}={\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }},\!}$

și dacă ${\displaystyle \beta =1\!}$ (putem să luăm ${\displaystyle M=2\!}$), atunci avem:

${\displaystyle \int _{2}^{n+1}{\frac {1}{x\ln x}}dx={\bigg [}\ln(\ln x){\bigg ]}_{2}^{n+1}=\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 2).\!}$

Se consideră trei subcazuri:

Cazul a.: ${\displaystyle \beta <1,\!}$ atunci avem:

${\displaystyle {\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }}\leq {\frac {1}{(M+1)\ln ^{\beta }(M+1)}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}.\!}$

Deoarece ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }}=\infty ,\!}$ rezultă că seria ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}\!}$ nu este mărginită, deci este divergentă.

Cazul b.: ${\displaystyle \beta >1,\!}$ atunci avem:

${\displaystyle {\frac {1}{M\ln ^{\beta }M}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\ln ^{\beta }(n-1)}}\leq {\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }},\!}$

dar, deoarece:

${\displaystyle {\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }}<{\frac {1}{\beta -1}},\!}$

pentru valori mari ale lui n, obținem:

${\displaystyle {\frac {1}{M\ln ^{\beta }M}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\ln ^{\beta }(n-1)}}<{\frac {1}{\beta -1}},\!}$

ceea ce înseamnă că șirul sumelor parțiale asociate seriei:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}\!}$

este marginit. Deci seria este convergentă.

Cazul c.: ${\displaystyle \beta =1,\!}$ avem:

${\displaystyle \int _{2}^{n+1}{\frac {x\ln x}{d}}x\leq {\frac {1}{3\ln 3}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln n}},\!}$

ceea ce implică:

${\displaystyle \ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 2)\leq {\frac {1}{3\ln 3}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln n}}.\!}$

Dar cum:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 2)=\infty ,\!}$

ajungem la concluzia că șirul sumelor parțiale asociat seriei:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln n}}\!}$

nu este mărginit. Deci seria nu este divergentă.

Concluzii

În final, concluziile în ceea ce privește seria lui Bertrand:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!}$

sunt următoarele:

${\displaystyle \alpha >1\!}$	Seria este convergentă indiferent de valoarea lui ${\displaystyle \beta .\!}$
${\displaystyle \alpha <1\!}$	Seria este divergentă indiferent de valoarea lui ${\displaystyle \beta .\!}$
${\displaystyle \alpha =1\!}$	Seria este convergentă dacă și numai dacă ${\displaystyle \beta >1.\!}$

Exemple

De exemplu, seriile:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln n}}\!}$ și ${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {\ln n}{n}}\!}$

sunt divergente iar seria:

${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {\ln n}{n^{2}}}\!}$

este convergentă.

Vezi și

Postulatul lui Bertrand

Legături externe

• SOSMath.com
• Gilles.Costantini.PagesPerso-Orange.fr
• UEL.education.fr Arhivat în 26 noiembrie 2006, la Wayback Machine.
• MateForum.ro Arhivat în 4 martie 2016, la Wayback Machine.