RO
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Număr triunghiular și pătratic

Număr triunghiular și pătratic

From Wikipedia, the free encyclopedia

Număr triunghiular și pătratic
FormuleRelații de recurențăNote

În matematică, un număr triunghiular și pătratic sau număr pătratic și triunghiular este un număr care este atât un număr triunghiular, cât și un număr pătratic. Există infinit de multe asemenea numere, primele câteva sunt:[1]

0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625
Pentru numerele triunghiulare pătratice, vedeți număr triunghiular pătratic.
Informații pe scurt Nr. total de termeni, Subșir al ...
Număr triunghiular și pătratic
Thumb
Numărul triunghiular și pătratic 36 prezentat ca număr triunghiular și ca număr pătratic
Nr. total de termeniInfinit
Subșir alNumere poligonale
Formula n 2 ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n^{2}(n+1)}{2}}} {\displaystyle {\frac {n^{2}(n+1)}{2}}}
Primii termeni0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900
Index OEIS
  • A001110
  • Square triangular
Închide

Notând cu Nk al k-lea număr triunghiular și pătratic, cu sk respectiv tk numerele corespunzătoare pătratice și triunghiulare există relația:

N k = s k 2 = t k ( t k + 1 ) 2 . {\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.} {\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}

Fie n rădăcina triunghiulară a unui număr triunghiular N = n(n + 1)/2. Rezolvând această ecuație de gradul 2 se obține:

n = 8 N + 1 − 1 2 . {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.} {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}

Deci, N este triunghiular (n este întreg) dacă și numai dacă 8N + 1 este un pătrat. Prin urmare, numărul pătratic M2 este și el triunghiular dacă și numai dacă 8M2 + 1 este un pătrat, adică numerele x și y satisfac relația x2 − 8y2 = 1. Aceasta este o ecuație Pell cu n = 8. Toate ecuațiile Pell au pentru orice n soluția trivială x = 1, y = 0, care idexată este notată (x0, y0) = (1,0). Dacă (xk, yk) este cea de a k-a soluție netrivială a oricărei ecuații Pell pentru un n dat, se poate arăta că

x k + 1 = 2 x k x 1 − x k − 1 , y k + 1 = 2 y k x 1 − y k − 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}

Există o infinitate de soluții la orice ecuație Pell, printre care există una netrivială ori de câte ori n nu este un pătrat. Prima soluție netrivială când n = 8 este (3,1). Soluția (xk, yk) pentru n = 8 dă un număr triunghiular și pătratic și rădăcinile sale pătratice și triunghiulare după cum urmează:

s k = y k , t k = x k − 1 2 , N k = y k 2 . {\displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.} {\displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}

Prin urmare, primul număr triunghiular și pătratic, derivat din (3,1), este 1, iar următorul, derivat din 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), este 36.

Șirurile Nk, sk și tk sunt șirurile OEIS A001110[1], respectiv OEIS A001109[2] și OEIS A001108[3].

În 1778 Leonhard Euler a determinat formula explicită[4][5]

N k = ( ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 ) 2 . {\displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.} {\displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}

Alte formule echivalente (obținute prin dezvoltarea acestei formule) sunt:

N k = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 2 k − ( 1 − 2 ) 2 k ) 2 = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 4 k − 2 + ( 1 − 2 ) 4 k ) = 1 32 ( ( 17 + 12 2 ) k − 2 + ( 17 − 12 2 ) k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}

Formulele explicite corespondente pentru sk și tk sunt:[5]

s k = ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 , t k = ( 3 + 2 2 ) k + ( 3 − 2 2 ) k − 2 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}

Relații de recurență

Există relații de recurență pentru numerele triunghiulare și pătratice, precum și pentru laturile pătratului și triunghiului implicat: [6]

N k = 34 N k − 1 − N k − 2 + 2 , with  N 0 = 0  and  N 1 = 1 ; N k = ( 6 N k − 1 − N k − 2 ) 2 , with  N 0 = 0  and  N 1 = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}}

Și:[4][5]

s k = 6 s k − 1 − s k − 2 , with  s 0 = 0  and  s 1 = 1 ; t k = 6 t k − 1 − t k − 2 + 2 , with  t 0 = 0  and  t 1 = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}}
  1. [1]
    Șirul A001110 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. [2]
    Șirul A001109 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  3. [3]
    Șirul A001108 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  4. [4]
    en Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. 2. Providence: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
  5. [5]
    la Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (O regulă ușoară pentru problemele diofantice rezolvate rapid prin numere întregi)”. Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg. 4: 3–17. Accesat în 11 mai 2009. Prezentată la Academia din St. Petersburg la 4 mai 1778
  6. [6]
    Eric W. Weisstein, Square Triangular Number la MathWorld.
Portal icon Portal Matematică
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Formule

Note