Mediană

Mediana într-un triunghi este segmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Proprietăți

Concurența medianelor într-un triunghi

Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.^[1][2]

Împărțirea egală a ariilor

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente).^[3] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă

În figura alăturată se observă că ${\displaystyle DF}$ este linia mijlocie a triunghiului :${\displaystyle ABC}$, opusă laturii ${\displaystyle BC}$. Prin urmare, este paralelă cu ${\displaystyle BC}$ și are lungimea egală cu ${\displaystyle {\frac {BC}{2}}}$.

Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:

${\displaystyle OCB=ODF}$

și

${\displaystyle OBC=OFD}$

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile ${\displaystyle \Delta OBC}$ și ${\displaystyle \Delta OFD}$ sunt asemenea. Rezultă că

${\displaystyle {\frac {OF}{OB}}}$=${\displaystyle {\frac {OD}{OC}}}$=${\displaystyle {\frac {FD}{BC}}}$=${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Demonstrație prin teorema lui Ceva

Deoarece:

${\displaystyle {\frac {AF}{FC}}}$ = ${\displaystyle {\frac {CE}{EB}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BD}{DA}}}$ = 1, rezultă că și :${\displaystyle {\frac {AF}{FC}}}$ . ${\displaystyle {\frac {CE}{EB}}}$ . ${\displaystyle {\frac {BD}{DA}}}$=1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.

Lungimea medianei

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:

${\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}$.

Alte proprietăți

• Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
• Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$
• Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$^[4]

• Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:^[5]

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$

• Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor m_a, m_b și m_c și semisuma lungimilor medianelor (m_a + m_b + m_c)/2 notată σ, când se obține:^[6]

${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$