Identitate (matematică)

În matematică funcția identitate, sau aplicația identitate, sau transformarea identică, este o funcție a cărei valoare este egală cu cea a argumentului. Adică, pentru ca f să fie funcția identitate, egalitatea ${\displaystyle f(X)=X}$ trebuie să fie valabilă pentru orice X.

Graficul funcției identitate pe numerele reale

Definiție

Formal, dacă M este o mulțime, funcția identitate f pe M este definită ca fiind funcția cu domeniul și codomeniul M care satisface

${\displaystyle f(X)=X}$     pentru toate elementele X din M.^[1]

În alte cuvinte, valorile funcției f(X) în M (codomeniul) sunt întotdeauna aceleași cu a elementului de intrare X din M (acum considerat domeniul de definiție). Funcția identitate pe M este evident o funcție injectivă, precum și o funcție surjectivă, ca urmare este o funcție bijectivă.^[2]

Funcția identitate f pe M adesea este notată id_M.

În teoria mulțimilor, unde o funcție este definită ca un anumit tip de relație binară, funcția identitate este dată de relația de identitate, sau diagonala lui M.^[3]

Proprietăți algebrice

Dacă f : M → N este o funcție oarecare, atunci ${\displaystyle f\circ id_{M}=f=id_{N}\circ f}$ exprimă o compunere a funcțiilor^⁠(d). În particular, id_M este elementul neutru al monoidului tuturor funcțiilor din M pe M.

Deoarece elementul neutru al monoidului este unic,^[4] alternativ se poate defini funcția identitate pe M ca fiind acest element neutru. O astfel de definiție se generalizează în teoria categoriilor la conceptul unui morfism identitate, unde endomorfismul lui M nu este necesar să fie funcții.

Proprietăți

• În teoria numerelor funcția identitate pe mulțimea numerelor întregi pozitive este o funcție complet multiplicativă (înmulțirea cu 1).^[5]
• Când se aplică spațiilor vectoriale, funcția identitate este o transformare liniară.^[6]
• Într-un spațiu vectorial n-dimensional, funcția identitate este reprezentată de matricea unitate I_n, indiferent de bază.^[7]
• Într-un spațiu metric identitatea este o Izometrie trivială. Un obiect fără nici o simetrie are ca grup de simetrie grupul trivial care conține doar această izometrie (tip de simetrie C₁).^[8]
• Într-un spațiu topologic funcția identitate este întotdeauna continuă.^[9]
• Funcția identitate este idempotentă^⁠(d).^[10]

Note

1. en Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
2. en Mapa, Sadhan Kumar (7 aprilie 2014). Higher Algebra Abstract and Linear (ed. 11th). Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
3. en Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society. 1974. p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3. ...then the diagonal set determined by M is the identity relation...
4. en Rosales, J. C.; García-Sánchez, P. A. (1999). Finitely Generated Commutative Monoids. Nova Publishers. p. 1. ISBN 978-1-56072-670-8. The element 0 is usually referred to as the identity element and if it exists, it is unique
5. en D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519.
6. en Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (ed. 9th), Wiley International
7. en T. S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
8. en James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN: 1-85233-934-9
9. en Conover, Robert A. (21 mai 2014). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking. Courier Corporation. p. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
10. en Conferences, University of Michigan Engineering Summer (1968). Foundations of Information Systems Engineering. we see that an identity element of a semigroup is idempotent.

	Portal Matematică