Identitate (matematică)

În matematică funcția identitate, sau aplicația identitate, sau transformarea identică, este o funcție a cărei valoare este egală cu cea a argumentului. Adică, pentru ca f să fie funcția identitate, egalitatea ${\displaystyle f(X)=X}$ trebuie să fie valabilă pentru orice X.

Graficul funcției identitate pe numerele reale

Definiție

Formal, dacă M este o mulțime, funcția identitate f pe M este definită ca fiind funcția cu domeniul și codomeniul M care satisface

${\displaystyle f(X)=X}$     pentru toate elementele X din M.^[1]

În alte cuvinte, valorile funcției f(X) în M (codomeniul) sunt întotdeauna aceleași cu a elementului de intrare X din M (acum considerat domeniul de definiție). Funcția identitate pe M este evident o funcție injectivă, precum și o funcție surjectivă, ca urmare este o funcție bijectivă.^[2]

Funcția identitate f pe M adesea este notată id_M.

În teoria mulțimilor, unde o funcție este definită ca un anumit tip de relație binară, funcția identitate este dată de relația de identitate, sau diagonala lui M.^[3]

Proprietăți algebrice

Dacă f : M → N este o funcție oarecare, atunci ${\displaystyle f\circ id_{M}=f=id_{N}\circ f}$ exprimă o compunere a funcțiilor^⁠(d). În particular, id_M este elementul neutru al monoidului tuturor funcțiilor din M pe M.

Deoarece elementul neutru al monoidului este unic,^[4] alternativ se poate defini funcția identitate pe M ca fiind acest element neutru. O astfel de definiție se generalizează în teoria categoriilor la conceptul unui morfism identitate, unde endomorfismul lui M nu este necesar să fie funcții.

Proprietăți

• În teoria numerelor funcția identitate pe mulțimea numerelor întregi pozitive este o funcție complet multiplicativă (înmulțirea cu 1).^[5]
• Când se aplică spațiilor vectoriale, funcția identitate este o transformare liniară.^[6]
• Într-un spațiu vectorial n-dimensional, funcția identitate este reprezentată de matricea unitate I_n, indiferent de bază.^[7]
• Într-un spațiu metric identitatea este o Izometrie trivială. Un obiect fără nici o simetrie are ca grup de simetrie grupul trivial care conține doar această izometrie (tip de simetrie C₁).^[8]
• Într-un spațiu topologic funcția identitate este întotdeauna continuă.^[9]
• Funcția identitate este idempotentă^⁠(d).^[10]