Funcție în scară

Vom considera pentru început funcții definite pe un interval deschis mărginit ${\displaystyle I=(a,b)}$ cu ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$.

Definiție. Funcția ${\displaystyle s:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ se zice funcție în scară (sau etajată) pe intervalul ${\displaystyle I=(a,b)}$, dacă există o diviziune

${\displaystyle (d)a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k-1}<t_{k}<\cdots <t_{n}=b}$

a intervalului ${\displaystyle I=(a,b)}$ încât ${\displaystyle f}$ este constantă pe fiecare dintre intervalele ${\displaystyle I_{j}=(t_{j-1},t_{j}),j=1,2,\cdots n.}$

Să notăm cu ${\displaystyle S_{I}}$ mulțimea funcțiilor în scară pe intervalul ${\displaystyle I}$. Din definiția precedentă rezultă că dacă ${\displaystyle s\in S_{I}}$ atunci există ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}\in \mathbb {R} }$ încât

${\displaystyle s(t)=c_{1}\phi _{I_{1}}(t)+c_{2}\phi _{I_{2}}(t)+\cdots +c_{n}\phi _{I_{n}}(t),\forall t\in \bigcup _{j=1}^{n}I_{j},}$

unde ${\displaystyle \phi _{I_{j}}}$ se notează funcția caracteristică a intervalului ${\displaystyle I_{j}=(t_{j-1},t_{j}).}$, adică funcția.

Remarcăm că în punctele ${\displaystyle t_{1},t_{2},\cdots }$, Tabela${\displaystyle _{n-1}}$ funcția s poate fi definită în mod arbitrar.

Remarcă. Din definiția de mai sus rezultă că orice funcție în scară este continuă aproape peste tot^⁠(d) (căci mulțimea punctelor sale de discontinuitate este finită).

Definiție 2. Numărul real

${\displaystyle \int _{I}s(t)dt=\sum _{j=1}^{n}c_{j}(t_{j}-t_{j-1})}$ se numește integrala Lebesque a funcției în scară ${\displaystyle s}$ pe intervalul ${\displaystyle I=(a,b)}$.

În continuare vom mai nota

${\displaystyle \int _{I}s(t)dt=\int _{a}^{b}s(t)dt}$

Exemplu. Funcția ${\displaystyle sign:(-1,1)\rightarrow \mathbb {R} }$ este o funcție în scară pe ${\displaystyle I=(-1,1)}$ și

${\displaystyle \int _{-1}^{1}signtdt=-1+1=0}$

Facem notațiile : ${\displaystyle s^{+}={\frac {s+|s|}{2}},s^{-}{\frac {|s|-s}{2}},s_{1}\vee s_{2}=max\{s_{1},s_{2}\},s_{1}\wedge s_{2}=min\{s_{1},s_{2}\}}$.

Teoremă. Dacă ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}:I\rightarrow \mathbb {R} }$ sunt funcții în scară pe ${\displaystyle I=(a,b)}$ și ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R} }$ atunci ${\displaystyle \alpha _{1}s_{1}+\alpha _{2}s_{2},|s_{1}|,s_{1}^{+},s_{1}^{-},s_{1}\vee s_{2},s_{1}\wedge s_{2}\in S_{I}}$ și

${\displaystyle (i)\int _{I}(\alpha _{1}s_{1}+\alpha _{2}s_{2})(t)dt=\alpha _{1}\int _{I}s_{1}(t)dt+\alpha _{2}\int _{I}s_{2}(t)dt}$;

${\displaystyle (ii)|\int _{I}s(t)dt|\leq \int _{I}|s(t)|dt}$;

${\displaystyle (iii)s_{1}\leq s_{2}a.p.t\rightarrow \int _{I}s_{1}(t)dt\leq \int _{I}s_{2}(t)dt}$;

${\displaystyle (iv)\forall _{c}\in \rightarrow s\in S_{(}a,c)\bigcap S(c,b)}$ și ${\displaystyle \int _{I}s(t)dt=\int _{a}^{c}s(t)dt+\int _{c}^{b}s(t)dt}$