Formula lui Bretschneider

În geometrie, formula lui Bretschneider calculează aria unui patrulater convex oarecare în funcție de lungimea laturilor acestuia:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.}$

Un patrulater convex oarecare

unde a, b, c, d reprezintă laturile, ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ - semiperimetrul, iar ${\displaystyle \alpha \!}$ și ${\displaystyle \gamma \!}$ două unghiuri opuse.

A fost descoperită în 1842 de Carl Anton Bretschneider. Formula a fost demonstrată în același an și de Karl Georg Christian von Staudt.

Demonstrație

Dacă A este aria patrulaterului, avem:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{aria }}\triangle ADB+{\text{aria }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Deci:

${\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,}$

Din teorema cosinusului se obține:

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,}$

și care poate fi rescris ca:

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,}$

Înlocuind în formula de mai sus pentru ${\displaystyle 4A^{2}}$ rezultă:

${\displaystyle 4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,}$

Aceasta mai poate fi scris ca:

${\displaystyle 16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Introducem semiperimetrul:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

de unde

${\displaystyle 16A^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

de unde rezultă formula lui Bretschneider.

Formule conexe

Formula lui Bretschneider generalizează formula lui Brahmagupta care la rândul acesteia generalizează formula lui Heron.

Legături externe

• en Wolfram MathWorld