Duoprismă

În geometria cvadridimensională sau din dimensiuni superioare o duoprismă este un politop rezultat din produsul cartezian a două politopuri, fiecare cu două dimensiuni sau mai mult. Produsul cartezian al unui politop n-dimensional și al unui politop m-dimensional este un politop (n+m)-dimensional, unde n și m sunt 2-politopuri (poligoane) sau din dimensiuni mai mari.

P-q duoprisme uniforme
Tip	4-politopuri uniforme prismatice
Simbol Schläfli	{p}×{q}
Diagramă Coxeter
Celule	prisme p q-gonale, prisme q p-gonale
Fețe	pq pătrate, p q-goane, q p-goane
Laturi	2pq
Vârfuri	pq
Figura vârfului	bisfenoid
Grup de simetrie	[p,2,q], de ordinul 4pq
Dual	p-q duopiramidă
Proprietăți	convex, uniform pe vârfuri

P-p duoprisme uniforme
Tip	4-politopuri uniforme prismatice
Simbol Schläfli	{p}×{p}
Diagramă Coxeter
Celule	prisme 2p p-gonale
Fețe	p2 pătrate, 2p p-goane
Laturi	2p2
Vârfuri	p2
Grup de simetrie	[p,2,p] = [2p,2+,2p] de ordinul 8p2
Dual	p-p duopiramidă
Proprietăți	convex, uniform pe vârfuri, tranzitiv pe fețe

Un prim plan în interiorul duoprismei 23-29 proiectat pe o 3-sferă proiectată în perspectivă în 3-spațiu. Pe măsură ce m și n devin mari, o duoprismă se apropie de geometria duocilindrului la fel cum o prismă p-gonală se apropie de un cilindru.

Cele mai jos dimensionale duoprisme există în spațiul cvadridimensional ca 4-politopuri fiind produsul cartezian a două poligoane din spațiul euclidian bidimensional. Mai precis, este mulțimea de puncte:

${\displaystyle P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,z,w)|(x,y)\in P_{1},(z,w)\in P_{2}\}}$

unde P₁ și P₂ sunt mulțimile punctelor din poligoanele respective. O astfel de duoprismă este convexă dacă ambele baze sunt convexe și este mărginită de celule prismatice.

Denumiri

Duoprismele cvadridimensionale sunt considerate a fi 4-politopuri prismatice. o duoprismă construită din două poligoane regulate cu aceeași lungime a laturilor este o duoprismă uniformă.

O duoprismă formată din n-goane și m-goane este denumită „duoprismă” urmată de numele poligoanelor de bază, de exemplu: o „duoprismă triunghiulară-pentagonală” este produsul cartezian al unui triunghi și al unui pentagon. O alternativă este notația cu un prefix cu numerele laturilor poligoanelor de bază, de exemplu „3-5 duoprismă” sau „3,5 duoprismă” pentru duoprisma triunghiulară-pentagonală.

Nume alternative:

• prismă q-gonală-p-gonală
• prismă dublă q-gonală-p-gonală
• hiperprismă q-gonală-p-gonală

Termenul de duoprismă a fost introdus de George Olshevsky, ca prescurtare la „prismă dublă”. John Horton Conway a propus un nume similar, proprismă, pentru „prismă de produs”, un produs cartezian a două sau mai multe politopuri cel puțin bidimensionale. Duoprismele sunt proprisme formate din exact două politopuri.

Exemplu de 16-16 duoprismă

Diagramă Schlegel a unei 16-16 duoprisme, prezentând toate prismele 16-gonale, mai puțin una		Desfășurata. Sunt prezentate cele două seturi de prisme 16-gonale. Fețele de sus și de jos ale cilindrului vertical sunt conectate atunci când sunt pliate împreună în spațiul cvadridimensional.

Geometria duoprismelor cvadridimensionale

O duoprismă uniformă cvadridimensională este creată de produsul unui poligon regulat cu n laturi cu un alt poligon, cu m laturi de aceeași lungime. Este mărginită de n prisme m-gonale și m prisme n-gonale. De exemplu, produsul cartezian al unui triunghi și al unui hexagon este o duoprismă delimitat de 6 prisme triunghiulare și 3 prisme hexagonale.

• Când m și n sunt identice, duoprisma rezultată este mărginită de 2n prisme identice n-gonale. De exemplu, produsul cartezian a două triunghiuri este o duoprismă delimitată de 6 prisme triunghiulare.
• Când m și n sunt identice și au valoarea 4, duoprisma rezultată este mărginită de 8 prisme pătrate (cuburi) și este identică cu tesseractul.

Prismele m-gonale sunt atașate între ele prin fețele lor m-gonale și formează o buclă închisă. Similar, prismele n-gonale sunt atașate între ele prin fețele lor n-gonale și formează o a doua buclă, perpendiculară pe prima. Aceste două bucle sunt atașate una de cealaltă prin fețele lor și sunt reciproc perpendiculare.

Pe măsură ce m și n se apropie de infinit, duoprismele corespunzătoare se apropie de un duocilindru. Ca atare, duoprismele sunt utile ca aproximări necuadrice ale duocilindrului.

Desfășurate

3-3	4-4	5-5	6-6	8-8	10-10
3-4	3-5	3-6	4-5	4-6	3-8

Proiecții în perspectivă

Diagrame Schlegel

O prismă hexagonală proiectată pe un plan în perspectivă, centrată pe o față hexagonală, arată ca un hexagon dublu conectat prin „pătrate” (distorsionate)

O 6-6 duoprismă proiectată în 3D aproximează un tor, hexagonal atât în plan cât și în secțiune

O proiecție în perspectivă cu o celulă în față face ca o duoprismă să arate ca un tor, cu două seturi de celule ortogonale, prisme p-gonale și q-gonale.

Duoprismele p-q sunt identice cu duoprismele q-p, dar arată diferit în aceste proiecții, deoarece proiecțiile sunt centrate pe celule de tip diferit.

Diagrame Schlegel

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Proiecții ortogonale

Proiecțiile ortogonale centrate pe vârfuri ale duoprismelor p-p se proiectează în [2n] simetrie pentru grade impare și [n] pentru grade pare. Există n vârfuri proiectate în centru. Pentru 4,4, reprezintă planul A³ Coxeter al tesseractului. Proiecția 5-5 este identică cu a triacontaedrului rombic.

Proiecții ortogonale „cadru de sârmă” ale duoprismelor p-p

Impare
3-3		5-5		7-7		9-9
[3]	[6]	[5]	[10]	[7]	[14]	[9]	[18]
Pare
4-4 (tesseract)		6-6		8-8		10-10
[4]	[8]	[6]	[12]	[8]	[16]	[10]	[20]

Bibliografie

• en H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Dover Publications, Inc., 1973, New York, p. 124.
• en Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN: 0-486-40919-8 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues)
• en Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
• en Henry P. Manning, Munn & Company, The Fourth Dimension Simply Explained, 1910, New York. Available from the University of Virginia library. Also accessible online: The Fourth Dimension Simply Explained—contains a description of duoprisms (double prisms) and duocylinders (double cylinders). Googlebook
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26)
• en Norman Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

	Portal matematică