RO
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Distribuția Gauss

Distribuția Gauss

From Wikipedia, the free encyclopedia

Distribuția normală
ProprietățiDensitatea de repartițieMediaDispersia pentru o variabilă aleatoare continuăEntropia informaționalăFuncția de repartiție cumulativăRepartiția variabilei (X-μ)/σSuma a n variabile independente având repartițiile N(μk,σk2)Media aritmetică a n variabile independente având repartiția N(μ,σ2)Teorema limită centrală (Laplace)Regula celor 3σNoteVezi șiLegături externe

Distribuția normală este o distribuție de probabilitate continuă. Este numită de asemenea distribuția Gauss deoarece a fost descoperită de către Carl Friedrich Gauss.[1]

Thumb
Funcția densitate de probabilitate pentru distribuția normală; linia verde este distribuția normală standard

Distribuția normală standard (cunoscută,de asemenea, sub numele de distribuție Z) este distribuția normală cu media zero și variația 1 (curbele verzi în imaginea din dreapta). Acesta este adesea numită curba lui Gauss, deoarece graficul densității de probabilitate arată ca un clopot.

Se notează cu: N(μ,σ2), unde μ și σ sunt parametrii din funcția de distribuție care va fi descrisă în continuare.

Bibliografie.[2][3][4][5]

Densitatea de repartiție

f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

Media

M ( X ) {\displaystyle M(X)\,} {\displaystyle M(X)\,} = ∫ − ∞ ∞ x . f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx} = ∫ − ∞ ∞ x . 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} = μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu }

Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

σ 2 ( X ) = ∫ − ∞ ∞ ( x − M ( X ) ) 2 . f ( x ) d x {\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.f(x)\,dx} {\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.f(x)\,dx}= ∫ − ∞ ∞ ( x − M ( X ) ) 2 . 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}= ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) 2 . 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}= σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} {\displaystyle \sigma ^{2}}

Entropia informațională

H [ f ] = − ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ln ⁡ ( f ( x ) ) d x {\displaystyle H[f]=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx} {\displaystyle H[f]=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx} = − ∫ − ∞ ∞ 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ln ⁡ ( 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) d x {\displaystyle -\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\ln({\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}})\,dx} {\displaystyle -\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\ln({\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}})\,dx} = ln ⁡ ( σ 2 π e ) {\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!} {\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!}

Funcția de repartiție cumulativă

Funcția de repartiție cumulativă este funcția

F ( t ) {\displaystyle F(t)} {\displaystyle F(t)}= ∫ − ∞ t f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx} {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx}= 1 σ . 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sigma .{\sqrt {2\pi }}}}} {\displaystyle {\frac {1}{\sigma .{\sqrt {2\pi }}}}} ∫ − ∞ t x . e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}x.e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}x.e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}

Pentru repartiția N~(0,1), această funcție este numită "funcția lui Laplace", și este dată de

ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} {\displaystyle \phi (t)}= 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} ∫ − ∞ t e − x 2 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx} {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}

Pentru o repartiție normală oarecare N(μ,σ2), se verifică prin schimbarea de variabilă x->(x-μ)/σ că

P ( X < x ) {\displaystyle P(X<x)} {\displaystyle P(X<x)}= ϕ ( x − μ σ ) {\displaystyle \phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})} {\displaystyle \phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}

Repartiția variabilei (X-μ)/σ

Pornind de la proprietățile operatorilor de medie și dispersie

  • M(X − μ) = M(X)− μ
  • D(X − μ) = D(X)
  • D(X/σ)=(1/σ2) D(X)

se obține că, dacă o variabilă aleatoare este normal repartizată N(μ,σ2), atunci variabila aleatoare redusă

X − μ σ {\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}} {\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}}

este repartizată N(0,1).

Suma a n variabile independente având repartițiile N(μk,σk2)

Dacă Xk:N(μk,σk2), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci suma lor X1+X2+...+Xn are repartiția:[6]

N ( ∑ k = 1 n μ k , ( ∑ k = 1 n σ k 2 ) ) . {\displaystyle N(\sum _{k=1}^{n}{\mu }_{k},{\sqrt {(}}\sum _{k=1}^{n}{\sigma }_{k}^{2})).} {\displaystyle N(\sum _{k=1}^{n}{\mu }_{k},{\sqrt {(}}\sum _{k=1}^{n}{\sigma }_{k}^{2})).}

Ca o consecință imediată a acestui rezultat:

Media aritmetică a n variabile independente având repartiția N(μ,σ2)

Dacă Xk:N(μ,σ2), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică (X1+X2+...+Xn)/n are repartiția:

N ( μ , σ ( n ) ) {\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{{\sqrt {(}}n)}})} {\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{{\sqrt {(}}n)}})}

Teorema limită centrală (Laplace)

Reprezintă una din cele mai puternice și mai utilizate proprietăți ale distribuției Gauss. Teorema este următoarea:

Dacă Xk - sunt variabile aleatoare independente având aceeași medie μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu } și dispersia σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} {\displaystyle \sigma ^{2}}, atunci limita mediei lor aritmetice (X1+X2+...+Xn)/n atunci cand n − > ∞ {\displaystyle n->\infty } {\displaystyle n->\infty } are proprietatea:

1 σ / ( n ) ( X 1 + X 2 + . . . + X n n − μ ) − > N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sigma /{\sqrt {(}}n)}}({\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-\mu )->N(0,1)} {\displaystyle {\frac {1}{\sigma /{\sqrt {(}}n)}}({\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-\mu )->N(0,1)}

Rezultă că X 1 + X 2 + . . . + X n n {\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}} {\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}} se aproximează cu N ( μ , σ n ) {\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{n}})} {\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{n}})} pentru n − > ∞ {\displaystyle n->\infty } {\displaystyle n->\infty }

Regula celor 3σ

O variabilă normal repartizată X:N(μ,σ) ia valori semnificative numai în intervalul (μ-3σ,μ+3σ). Într-adevăr, P ( | X − μ | >= 3 σ ) = 1 − P ( | X − μ | < 3 σ ) = 1 − ϕ ( 3 ) = 0 , 0027 {\displaystyle P({|X-\mu |>=3\sigma })=1-P({|X-\mu |<3\sigma })=1-\phi (3)=0,0027} {\displaystyle P({|X-\mu |>=3\sigma })=1-P({|X-\mu |<3\sigma })=1-\phi (3)=0,0027}, valoare care în unele situații poate fi neglijată.

  1. [1]
    Kirkwood, Betty R; Sterne, Jonathan AC (2003). Essential Medical Statistics. Blackwell Science Ltd.Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (link)
  2. [2]
    Viorel Petrehuș, Sever-Angel Popescu, Probabilități și statistică, Arhivat în 28 decembrie 2013, la Wayback Machine., Universitatea Tehnică de Construcții din București, 2005
  3. [3]
    „copie arhivă” (PDF). Arhivat din original la 26 iunie 2011. Accesat în 3 august 2013.
  4. [4]
    Ștefan Balint, Éva Kaslik, Simina Ștefania Mariș, Probabilități (curs), Universitatea de Vest din Timișoara, Arhivat în 15 septembrie 2015, la Wayback Machine.
  5. [5]
    Ariadna Lucia Pletea,Liliana Popa, [math.etti.tuiasi.ro/lpopa/cursTP.pdf/ Teoria probabilităților] (curs, 1999), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași
  6. [6]
    H. Poincaré-Calcul des probabilités, Gauthiers-Villars,Paris,1912/
  • Distribuție de probabilitate
  • Distribuția binomială
  • Distribuția Rayleigh
  • Variabilă aleatoare
  • Rugozitate#Filtre
  • en Free Area Under the Normal Curve Calculator from Daniel Soper's Free Statistics Calculators website. Computes the cumulative area under the normal curve (i.e., the cumulative probability), given a z-score.
  • en Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution).
  • en GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
  • en Normal Distribution Table
  • en Download free two-way normal distribution calculator
  • en Download free normal distribution fitting software
  • en http://www.pruteanu.ro/704reflec_files/gauss.htm Arhivat în 30 mai 2013, la Wayback Machine.
Portal icon Portal Matematică
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Proprietăți

Note

Vezi și

Legături externe