RO
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Câmp scalar

From Wikipedia, the free encyclopedia

Câmp scalar
Suprafață de nivelExempluDerivata după o direcțieExempluGradientul unui câmp scalarDerivata în raport cu un vectorVezi și

În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

φ : D → R , φ ( P ) = φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) , ( ∀ ) P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∈ D , {\displaystyle \varphi :D\to \mathbb {R} ,\;\varphi (P)=\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;(\forall )P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in D,} {\displaystyle \varphi :D\to \mathbb {R} ,\;\varphi (P)=\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;(\forall )P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in D,}
Acest articol se referă la o noțiune din calculul vectorial. Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).

unde   D ⊆ E n . {\displaystyle D\subseteq E^{n}.} {\displaystyle D\subseteq E^{n}.}

Dându-se un punct fix   P 0 , {\displaystyle P_{0},} {\displaystyle P_{0},}  suprafața de ecuație:

φ ( P ) = φ ( P 0 ) {\displaystyle \varphi (P)=\varphi (P_{0})} {\displaystyle \varphi (P)=\varphi (P_{0})}

se numește suprafață de nivel a câmpului   φ ( P ) , {\displaystyle \varphi (P),} {\displaystyle \varphi (P),}  atașată punctului   P 0 . {\displaystyle P_{0}.} {\displaystyle P_{0}.}

Exemplu

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin   φ ( r → ) = a → ⋅ r → , {\displaystyle \varphi ({\vec {r}})={\vec {a}}\cdot {\vec {r}},} {\displaystyle \varphi ({\vec {r}})={\vec {a}}\cdot {\vec {r}},}  unde   a → {\displaystyle {\vec {a}}} {\displaystyle {\vec {a}}}  este un vector unitar constant, iar   r → {\displaystyle {\vec {r}}} {\displaystyle {\vec {r}}}  este vectorul de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

a → ⋅ r → = C , {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}=C,} {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}=C,}

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe   a → . {\displaystyle {\vec {a}}.} {\displaystyle {\vec {a}}.} 

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul   A ( 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle A(1,2,3)} {\displaystyle A(1,2,3)}  este planul perpendicular pe   a → {\displaystyle {\vec {a}}} {\displaystyle {\vec {a}}}  și care are ecuația:

a → ⋅ r → = a → ⋅ b → , {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}},} {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}},}  unde   b → = i → + 2 j → + 3 k → . {\displaystyle {\vec {b}}={\vec {i}}+2{\vec {j}}+3{\vec {k}}.} {\displaystyle {\vec {b}}={\vec {i}}+2{\vec {j}}+3{\vec {k}}.} 

Fie o curbă   ( Γ ) {\displaystyle (\Gamma )} {\displaystyle (\Gamma )}  care trece printr-un punct   P 0 . {\displaystyle P_{0}.} {\displaystyle P_{0}.}  Dacă există limita:

lim P → P 0 φ ( P ) − φ ( P 0 ) l P 0 P = ( d φ d t → ) P 0 {\displaystyle \lim _{P\to P_{0}}{\frac {\varphi (P)-\varphi (P_{0})}{l_{P_{0}P}}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}} {\displaystyle \lim _{P\to P_{0}}{\frac {\varphi (P)-\varphi (P_{0})}{l_{P_{0}P}}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}}

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor   t → {\displaystyle {\vec {t}}} {\displaystyle {\vec {t}}}  în punctul   P 0 , {\displaystyle P_{0},} {\displaystyle P_{0},} 

unde   t → {\displaystyle {\vec {t}}} {\displaystyle {\vec {t}}}  este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar   l P 0 P {\displaystyle l_{P_{0}P}} {\displaystyle l_{P_{0}P}}  este abscisa curbilinie a punctului   P {\displaystyle P} {\displaystyle P}  față de   P 0 . {\displaystyle P_{0}.} {\displaystyle P_{0}.} 

Notând cu   n → {\displaystyle {\vec {n}}} {\displaystyle {\vec {n}}}  versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin   P 0 {\displaystyle P_{0}} {\displaystyle P_{0}}  și cu   θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }  unghiul dintre   t → {\displaystyle {\vec {t}}} {\displaystyle {\vec {t}}}  și   n → , {\displaystyle {\vec {n}},} {\displaystyle {\vec {n}},}  există relația:

( d φ d t → ) P 0 = ( d φ d n → ⋅ cos ⁡ θ . ) P 0 {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot \cos \theta .\right)_{P_{0}}} {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot \cos \theta .\right)_{P_{0}}}

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

( d φ d n → ) P 0 = ( ∂ φ ∂ x 0 ) 2 + ( ∂ φ ∂ y 0 ) 2 + ( ∂ φ ∂ z 0 ) 2 . {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\right)_{P_{0}}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\right)^{2}}}.} {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\right)_{P_{0}}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\right)^{2}}}.}

Dacă   φ h ( P ) , ( h = 1 , 2 , ⋯ , n ) , {\displaystyle \varphi _{h}(P),\;(h=1,2,\cdots ,n),} {\displaystyle \varphi _{h}(P),\;(h=1,2,\cdots ,n),}  sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția   F ( φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ n ) , {\displaystyle F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}),} {\displaystyle F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}),}  atunci:

d F d t → = ∑ h = 1 n ∂ F ∂ φ h ⋅ ∂ φ h ∂ t → . {\displaystyle {\frac {dF}{d{\vec {t}}}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot {\frac {\partial \varphi _{h}}{\partial {\vec {t}}}}.} {\displaystyle {\frac {dF}{d{\vec {t}}}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot {\frac {\partial \varphi _{h}}{\partial {\vec {t}}}}.}

Exemplu

Pentru calculul derivatei lui   Φ = x 2 y z + 4 x z 2 {\displaystyle \Phi =x^{2}yz+4xz^{2}} {\displaystyle \Phi =x^{2}yz+4xz^{2}}  în punctul   A ( 1 , 2 , − 1 ) {\displaystyle A(1,2,-1)} {\displaystyle A(1,2,-1)}  și după direcția   2 i → − j → − 2 k → {\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}} {\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}  se fac calculele:

∇ → Φ = ∇ → ( x 2 y z + 4 x z 2 ) = ( 2 x y z + 4 z 2 ) i → + x 2 z j → + ( x 2 y + 8 x z ) k → , {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi ={\overrightarrow {\nabla }}(x^{2}yz+4xz^{2})=(2xyz+4z^{2}){\vec {i}}+x^{2}z{\vec {j}}+(x^{2}y+8xz){\vec {k}},} {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi ={\overrightarrow {\nabla }}(x^{2}yz+4xz^{2})=(2xyz+4z^{2}){\vec {i}}+x^{2}z{\vec {j}}+(x^{2}y+8xz){\vec {k}},}
∇ → Φ A = 8 i → − j → − 10 k → . {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi _{A}=8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}}.} {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi _{A}=8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}}.}

Vectorul unitar în direcția   2 i → − j → − 2 k → {\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}} {\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}  este:

a → = 2 i → − j → − 2 k → 2 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 = 2 3 i → − 1 3 j → − 2 3 k → . {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}}={\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}.} {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}}={\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}.}

Deci:

∇ → Φ ⋅ a → = ( 8 i → − j → − 10 k → ) ⋅ ( 2 3 i → − 1 3 j → − 2 3 k → ) = 37 3 . {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi \cdot {\vec {a}}=(8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}})\cdot \left({\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)={\frac {37}{3}}.} {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi \cdot {\vec {a}}=(8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}})\cdot \left({\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)={\frac {37}{3}}.}

Dacă   α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }  sunt componentele versorului   t → , {\displaystyle {\vec {t}},} {\displaystyle {\vec {t}},}  în cazul unui spațiu tridimensional:

( d φ d t → ) P 0 = α ∂ φ ∂ x 0 + β ∂ φ ∂ y 0 + γ ∂ φ ∂ z 0 . {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\alpha {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}+\beta {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}+\gamma {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}.} {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\alpha {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}+\beta {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}+\gamma {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}.}

Vectorul de componente   ∂ φ ∂ x 0 , ∂ φ ∂ y 0 , ∂ φ ∂ z 0 {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}} {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}}  se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil   φ ( P ) {\displaystyle \varphi (P)} {\displaystyle \varphi (P)}  în punctul   P 0 ∈ D {\displaystyle P_{0}\in D} {\displaystyle P_{0}\in D}  și se notează   ( g r a d φ ) P 0 . {\displaystyle (grad\;\varphi )_{P_{0}}.} {\displaystyle (grad\;\varphi )_{P_{0}}.} 

Există relațiile:

g r a d φ = d φ d n → ⋅ n → {\displaystyle grad\;\varphi ={\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot {\vec {n}}} {\displaystyle grad\;\varphi ={\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot {\vec {n}}}
g r a d F ( φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ n ) = ∑ h = 1 n ∂ F ∂ φ h ⋅ g r a d φ h . {\displaystyle grad\;F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n})=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot grad\;\varphi _{h}.} {\displaystyle grad\;F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n})=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot grad\;\varphi _{h}.}

Operatorul diferențial vectorial:

∇ → == i → ∂ ∂ x + j → ∂ ∂ y + k → ∂ ∂ z {\displaystyle {\vec {\nabla }}=={\vec {i}}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial \over \partial z}} {\displaystyle {\vec {\nabla }}=={\vec {i}}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial \over \partial z}}

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

g r a d φ = ∇ → φ , d φ d t → = ( t → ⋅ ∇ → ) ⋅ φ . {\displaystyle grad\;\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ,\;\;{\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}=\left({\vec {t}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\cdot \varphi .} {\displaystyle grad\;\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ,\;\;{\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}=\left({\vec {t}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\cdot \varphi .}

Fie   u → {\displaystyle {\vec {u}}} {\displaystyle {\vec {u}}}  un vector de mărime u și versor   u → 0 , {\displaystyle {\vec {u}}_{0},} {\displaystyle {\vec {u}}_{0},}  adică   u → = u ⋅ u → 0 . {\displaystyle {\vec {u}}=u\cdot {\vec {u}}_{0}.} {\displaystyle {\vec {u}}=u\cdot {\vec {u}}_{0}.}  Dacă se notează   u → ⋅ ∇ → = u ( u → 0 ⋅ ∇ ˙ ) {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u\left({\vec {u}}_{0}\cdot {\dot {\nabla }}\right)} {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u\left({\vec {u}}_{0}\cdot {\dot {\nabla }}\right)}  atunci expresia:

( u → ⋅ ∇ → ) φ = u ⋅ d φ d u → 0 {\displaystyle \left({\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\varphi =u\cdot {\frac {d\varphi }{d{\vec {u}}_{0}}}} {\displaystyle \left({\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\varphi =u\cdot {\frac {d\varphi }{d{\vec {u}}_{0}}}}

se numește derivata funcției   φ ( P ) {\displaystyle \varphi (P)} {\displaystyle \varphi (P)}  în raport cu vectorul   u → . {\displaystyle {\vec {u}}.} {\displaystyle {\vec {u}}.}

  • Câmp vectorial
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Suprafață de nivel

Derivata după o direcție

Gradientul unui câmp scalar

Derivata în raport cu un vector

Vezi și