tablou triunghiular cu coeficienții trinomiali From Wikipedia, the free encyclopedia
în matematică triunghiul trinomial este o variație a triunghiului lui Pascal. Diferența dintre cele două este că un element din triunghiul trinomial este suma celor trei elemente (în loc de două în triunghiul lui Pascal) de deasupra lui.
|
Al -lea element din al -lea rând este notat prin
Rândurile sunt indexate începând de la 0. Elementele din rândul al -lea sunt indexate începând la stânga cu poziția , iar elementul din mijloc are indicele 0. Simetria elementelor unui rând față de elementul din mijloc este exprimată prin relația
Al -lea rând corespunde coeficienților din dezvoltarea trinomului ridicat la a -a putere:[1]
sau, simetric,
de unde denumirea alternativă de coeficienți trinomiali din cauza relației lor cu coeficienții multinomiali:
În plus, diagonalele au proprietăți interesante, cum ar fi relația lor cu numerele triunghiulare.
Suma elementelor celui de al -lea rând este .
Coeficienții trinomiali pot fi generați folosind următoarea relație de recurență:[1]
unde pentru și .
Elementele din mijloc ale triunghiului trinomial sunt:[2]
și au fost studiate de Leonhard Euler și sunt cunoscuți drept coeficienții trinomiali centrali.
Al -lea coeficient trinomial central este dat de
Funcția lor generatoare este[3]
Euler a remarcat următorul exemplum memorabile inductionis fallacis (în română exemplu notabil de inducție greșită):
unde este al n-lea număr Fibonacci. Totuși, pentru mari această relație este incorectă. George Andrews a explicat această această eroare folosind identitatea generală[4]
Triunghiul corespunde într-un joc de șah numărului de căi diferite prin care regele poate ajunge, folosind un număr minim de mutări, pe un anumit câmp.
Coeficientul din dezvoltarea dă numărul de moduri diferite de a trage cărți din două seturi identice de cărți de joc fiecare.[5] De exemplu, din două seturi de câte trei cărți A, B, C, diferitele trageri pot fi:
Numărul cărților alese | Numărul de opțiuni | Opțiuni |
---|---|---|
0 | 1 | |
1 | 3 | A, B, C |
2 | 6 | AA, AB, AC, BB, BC, CC |
3 | 7 | AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBC, BCC |
4 | 6 | AABB, AABC, AACC, ABBC, ABCC, BBCC |
5 | 3 | AABBC, AABCC, ABBCC |
6 | 1 | AABBCC |
De exemplu,
În particular, aceasta oferă formula pentru numărul de mâini diferite în jocul de cărți Doppelkopf.
Alternativ, este posibilă obținerea acestei expresii luând în considerare numărul de moduri de a trage perechi de cărți identice din cele două seturi, care este coeficientul binomial . Cele cărți rămase pot fi apoi trase în moduri[5], care pot fi scrise în termeni de coeficienți binomiali ca
Exemplul de mai sus corespunde celor trei moduri de tragere a două cărți fără a primi o pereche de cărți identice (AB, AC, BC) și celor trei moduri de tragere a unei perechi de cărți identice (AA, BB, CC).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.