Teorema catetei

Teorema catetei se enunță astfel: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei. ${\displaystyle AB={\sqrt {DB\cdot BC}}}$

Teorema catetei - notații

Demonstrație

Fie ${\displaystyle AD\perp BC,D\in BC,pr_{BC}AB=BD}$

Din asemănarea triunghiurilor ${\displaystyle \Delta ABD}$ și ${\displaystyle \Delta CBA}$ rezultă proporția:

${\displaystyle {\frac {AB}{BC}}={\frac {BD}{AB}}}$, de unde:

${\displaystyle AB^{2}=BD\cdot BC}$, deci:

${\displaystyle AB={\sqrt {DB\cdot BC}}}$

Analog, se demonstrează și pentru cateta ${\displaystyle AC}$:

${\displaystyle AC^{2}=CD\cdot BC}$, sau:

${\displaystyle AC={\sqrt {DC\cdot BC}}}$

Teoremă reciprocă (1)

Dacă într-un triunghi ${\displaystyle ABC}$:

${\displaystyle AD\perp BC\ }$ și ${\displaystyle AB^{2}=BD\cdot BC}$,

rezultă că: ${\displaystyle m(\angle BAC)=90^{o}}$

Teoremă reciprocă (2)

Dacă într-un triunghi ${\displaystyle ABC}$:

${\displaystyle m(\angle BAC)=90^{o}}$ și ${\displaystyle AB^{2}=BD\cdot BC}$

rezultă că: ${\displaystyle \ AD\perp BC}$

Bibliografie

• Dana Radu, Eugen Radu - Manual pentru clasa a VII-a
• Jacques Hadamard - Lecții de geometrie elementară. Geometrie plană, Editura Tehnică, București, 1962