From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, dat fiind un grup G cu un operator binar ∗, o submulțime H a lui G se numește subgrup al lui G dacă H formează și el un grup cu operatorul ∗. Mai exact, H este subgrup al lui G dacă restricționarea lui ∗ la H × H este operator de grup pe H. Aceasta se notează de regulă cu H ≤ G, citit ca „H este subgrup al lui G”.
Subgrupul trivial al oricărui grup {e} constă doar din elementul neutru.
Un subgrup propriu al grupului G este un subgrup H a cărui mulțime este submulțime proprie a lui of G (adică H ≠ G). Aceasta se notează de regulă ca H < G, adică "H este subgrup propriu al lui G”. Unii autori exclud și grupul trivial din definiția subgrupului propriu (adică {e} ≠ H ≠ G).[1][2]
Daca H este subgrup al lui G, atunci G este uneori denumit supergrup al lui H.
Aceleași definiții se aplică mai general când G este un semigrup arbitrar, dar acest articol tratează doar subgrupurile unor grupuri. Grupul G este uneori notat cu perechea ordonată (G, ∗), de regulă pentru a accentua operațiunea ∗ atunci când G conține și alte structuri algebrice.
Dat fiind un subgrup H și un a din G, se definește codomeniul stâng aH = {ah : h în H}. Întrucât a are element simetric, aplicația φ : H → aH dată de φ(h) = ah este bijectivă. Mai mult, orice element din G este conținut într-un singur codomeniu stâng al lui H; codomeniile stângi sunt clase de echivalență corespunzătoare relației de echivalență a1 ~ a2 dacă și numai dacă a1−1a2 face parte din H. Numărul de codomenii drepte ale lui H se numește indicele lui H în G și se notează cu [G : H].
Teorema lui Lagrange afirmă că pentru un grup finit G și un subgrup H,
unde cu |G| și |H| se notează ordinul lui G, respectiv H. În particular, ordinul fiecărui subgrup al lui G (și ordinul fiecărui element al lui G) trebuie să fie divizor al lui |G|.
Codomeniile drepte sunt definite analog: Ha = {ha : h în H}. Ele sunt și clase de echivalență pentru o relație de echivalență corespunzătoare și numărul lor este egal cu [G : H].
Dacă aH = Ha oricare ar fi a din G, atunci despre H se spune că este subgrup normal. Fiecare subgrup de indice 2 este normal: codomeniul stâng și cel drept sunt doar subgrupul și complementul său. Mai general, dacă p este cel mai mic număr prim care divide ordinul unui grup finit G, atunci orice subgrup de indice p (dacă există) este normal.
Fie G grupul ciclic Z8 cu elementele
și a cărui operație de grup este is adunarea modulo opt. Tabela sa Cayley este
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Acest grup are două subgrupuri netriviale: J={0,4} și H={0,2,4,6}, unde J este și un subgrup al lui H. Tabela Cayley pentru H este pătratul din stânga-sus al tabelei Cayley pentru G. Grupul G este ciclic, și la fel și subgrupurile sale. În general, subgrupurile grupurilor ciclice sunt și ele ciclice.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.