O mulțime este conexă într-un spațiu topologic dacă nu este reuniunea a două mulțimi nevide deschise și disjuncte. Folosind limbajul obișnuit, o mulțime conexă poate fi descrisă ca fiind o mulțime formată dintr-o singură bucată. De exemplu, intervalele de numere reale sunt mulțimi conexe.
Fie (S,d) un spațiu metric.
Se spune despre o mulțime
S că este conexă dacă în S nu există două mulțimi deschise D1 și D2 astfel încât
![{\displaystyle D_{1}\cap A\neq \emptyset ,D_{2}\cap A\neq \emptyset ,D_{1}\cap D_{2}=\emptyset ,D_{1}\cup D_{2}\supseteq A}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beba16645b12443573f7c698f03de58b89cbe8cf)
- O mulțime care nu este conexă se numește neconexă. O mulțime deschisă și conexă se numește domeniu.
Dacă o mulțime este conexă într-un spațiu topologic atunci spațiul respectiv este un spațiu topologic conex.
- O multime
este conexă dacă și numai dacă este interval.
- O mulțime nevidă
a unui spațiu metric este conexă dacă și numai dacă orice funcție continuă de forma
este constantă.
Altfel spus, o mulțime
este conexă dacă și numai dacă
nu se poate reprezenta ca reuniunea a două mulțimi deschise relativ la
, disjuncte și nevide. Din acest motiv, mulțimile conexe se mai numesc și mulțimi dintr-o singură bucată.
- Aderența oricărei mulțimi conexe este o mulțime conexă.
- Fie Á o familie de mulțimi conexe în (S,d) a cărei intersecție este nevidă. Atunci reuniunea sa este de asemenea o mulțime conexă în (S,d).
- Dacă
, atunci clasa de echivalență care îl conține pe x se numește componenta conexă a punctului x și se notează cu Cx.
Evident, dacă (S,d) este un spațiu topologic conex atunci Cx=S pentru orice
.
- Fie T o mulțime deschisă în spațiul topologic (S,d). Atunci T este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, deschise și disjuncte T1 și T2 cu
.
- Fie F o mulțime închisă în spațiul topologic (S,d). Atunci F este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, disjuncte și închise F1 și F2 cu
.
- Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr-un singur element (singletoanele) sunt conexe în orice spațiu topologic.
- Mulțimea A={0,1} din
nu este conexă deoarece există, de exemplu, mulțimile deschise
și
astfel încât
.
- Dacă db este topologia banală pe S atunci (S,db) este un spațiu topologic conex.
- Dacă pe
se consideră topologia discretă t0, atunci (
, t0) nu este un spațiu topologic conex.
- Mulțimea (hiperbola)
nu este conexă în (
, d) căci mulțimile deschise
și
au proprietățile
.
- Mihail Megan, Analiză matematică, volumul I, Editura Mirton, Timișoara,1999,pag.152-160
- Nicolae Cotfas, Liviu Adrian Cotfas, Elemente de analiză matematică, Editura Universității din București, București, 2010, pp. 82-87.