Hiperboloid

În matematică, printr-un hiperboloid se înțelege o cuadrică, un anumit fel de suprafață tridimensională, descrisă de ecuația:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

(Hiperboloid cu o pânză),

Nu confundați cu Paraboloid hiperbolic.

Hiperboloid cu o pânză

Suprafață conică

Hiperboloid cu două pânze

respectiv

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$

(Hiperboloid cu două pânze).

Ambele aceste suprafețe sunt asimptotice la aceeași suprafață conică, pe măsură ce x ori y cresc,

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}$

Astfel de suprafețe se numesc hiperboloizi eliptici. Dacă și numai dacă a = b, atunci un hiperboloid eliptic devine un hiperboloid de revoluție.

Coordonate carteziene

Animație prezentând un hiperboloid de revoluție

Coordonatele carteziene pentru hiperboloizi pot fi definite similar coordonatelor sferice, menținând azimutul unghiului ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$, dar schimbând elevația v în funcțiile hiperbolice.

Hiperboloidul cu o suprafață, ${\displaystyle v\in (-\infty ,\infty )}$ devine:

${\displaystyle x=a\cosh v\cos \theta }$

${\displaystyle y=b\cosh v\sin \theta }$

${\displaystyle z=c\sinh v}$

Iar hiperboloidul a două suprafețe, ${\displaystyle v\in [0,\infty )}$ devine:

${\displaystyle x=a\sinh v\cos \theta }$

${\displaystyle y=b\sinh v\sin \theta }$

${\displaystyle z=\pm c\cosh v}$

Ecuații generalizate

Generalizat, un hiperboloid arbitrar, centrat în v, este definit de ecuația:

${\displaystyle (\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v} )=1,}$

în care A este o matrice, iar x și v sunt vectori euclidieni.

Structuri hiperboloidale

Shukhov Hyperboloid tower (1898) în Vyksa

Bibliografie

• de Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie,Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• en David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pages 39–41 Cambridge University Press.
• en H.S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, page 130, John Wiley & Sons.

Vezi și

• Coordonate eliptice
• Elipsă
• Elipsoid
• Hiperbolă
• Viteză unghiulară medie reală

Legături externe

• Materiale media legate de Hiperboloid la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Hyperboloid la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Elliptic Hyperboloid la MathWorld.