În geometrie compusul de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație este un compus poliedric uniform realizat dintr-un aranjament simetric de 20 de octaedre , considerate ca antiprisme .[2]
Mai multe informații Descriere, Tip ...
Închide
Are indicele de compus uniform UC13 .[2]
Poate fi construit prin suprapunerea a două copii de Compus de zece octaedre (UC16 ) și apoi rotirea octaedrelor componente în perechi cu un unghi egal (și opus, într-o pereche) θ .
Când θ = 0 sau θ = 60°, octaedrele coincid în perechi dând două copii suprapuse ale compușilor de zece octaedre UC15 și respectiv UC16 . Pentru
θ
=
2
arctg
(
1
3
(
13
−
4
10
)
)
≈
37
,
76124
∘
,
{\displaystyle \theta =2\operatorname {arctg} \left({\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(13-4{\sqrt {10}}\right)}}\right)\approx 37,76124^{\circ },}
octaedrele din axe de rotație diferite coincid în seturi de câte patru, dând compusul de cinci octaedre . Pentru
θ
=
2
arctg
(
−
4
3
−
2
15
+
132
+
60
5
4
+
2
+
2
5
+
10
)
≈
14
,
33033
∘
,
{\displaystyle \theta =2\operatorname {arctg} \left({\frac {-4{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {132+60{\sqrt {5}}}}}{4+{\sqrt {2}}+2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}}}\right)\approx 14,33033^{\circ },}
vârfurile coincid în perechi, rezultând compusul de douăzeci de octaedre (UC14 , fără libertate de rotație).
Coordonate carteziene
Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt toate permutările ciclice ale
(
±
2
3
sin
θ
,
±
(
φ
−
1
2
+
2
φ
cos
θ
)
,
±
(
φ
2
−
2
φ
−
1
cos
θ
)
)
(
±
(
2
−
φ
2
cos
θ
+
φ
−
1
3
sin
θ
)
,
±
(
2
+
(
2
φ
−
1
)
cos
θ
+
3
sin
θ
)
,
±
(
2
+
φ
−
2
cos
θ
−
φ
3
sin
θ
)
)
(
±
(
φ
−
1
2
−
φ
cos
θ
−
φ
3
sin
θ
)
,
±
(
φ
2
+
φ
−
1
cos
θ
+
φ
−
1
3
sin
θ
)
,
±
(
3
cos
θ
−
3
sin
θ
)
)
(
±
(
−
φ
−
1
2
+
φ
cos
θ
−
φ
3
sin
θ
)
,
±
(
φ
2
+
φ
−
1
cos
θ
−
φ
−
1
3
sin
θ
)
,
±
(
3
cos
θ
+
3
sin
θ
)
)
(
±
(
−
2
+
φ
2
cos
θ
+
φ
−
1
3
sin
θ
)
,
±
(
2
+
(
2
φ
−
1
)
cos
θ
−
3
sin
θ
)
,
±
(
2
+
φ
−
2
cos
θ
+
φ
3
sin
θ
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\Big (}\pm 2{\sqrt {3}}\sin \theta ,\,\pm (\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}+2\varphi \cos \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}-2\varphi ^{-1}\cos \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm ({\sqrt {2}}-\varphi ^{2}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\varphi -1)\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\varphi ^{-2}\cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}-\varphi \cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}+\varphi ^{-1}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (-\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}+\varphi \cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}+\varphi ^{-1}\cos \theta -\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (-{\sqrt {2}}+\varphi ^{2}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\varphi -1)\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\varphi ^{-2}\cos \theta +\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\end{aligned}}}
unde φ = (1 + √ 5 secțiunea de aur .
Volum
Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a :
V
=
20
2
3
a
3
≈
9
,
428090
a
3
.
{\displaystyle V={\frac {20{\sqrt {2}}}{3}}\,a^{3}\approx 9,428090~a^{3}.}
Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație
Compusul cu θ = 0°
Compusul cu θ = 5°
Compusul cu θ = 10°
Compusul cu θ = 15°
Compusul cu θ = 20°
Compusul cu θ = 25°
Compusul cu θ = 30°
Compusul cu θ = 35°
Compusul cu θ = 40°
Compusul cu θ = 45°
Compusul cu θ = 50°
Compusul cu θ = 55°
Compusul cu θ = 60°
addasi , bendwavy.org, accesat 2023-08-18en Skilling, John (1976 ), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (03): 447–457, doi :10.1017/S0305004100052440 , MR 0397554 
