Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație

În geometrie compusul de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație este un compus poliedric uniform realizat dintr-un aranjament simetric de 20 de octaedre, considerate ca antiprisme.^[2]

Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație
Descriere
Tip	compus poliedric uniform UC12 - UC13 - UC14
Fețe	160 (triunghiuri)
Laturi (muchii)	240
Vârfuri	120
Configurația vârfului	3.3.3.3[1]
Configurația feței	V4.4.4
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (Ih) Constituenți: ciclică (S6)
Volum	≈9,428 a3   (a = latura)
Proprietăți	Constituenți: 20 octaedre
Figura vârfului

Are indicele de compus uniform UC₁₃.^[2]

Construcție

Poate fi construit prin suprapunerea a două copii de Compus de zece octaedre (UC₁₆) și apoi rotirea octaedrelor componente în perechi cu un unghi egal (și opus, într-o pereche) θ.

Când θ = 0 sau θ = 60°, octaedrele coincid în perechi dând două copii suprapuse ale compușilor de zece octaedre UC₁₅ și respectiv UC₁₆. Pentru

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctg} \left({\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(13-4{\sqrt {10}}\right)}}\right)\approx 37,76124^{\circ },}$

octaedrele din axe de rotație diferite coincid în seturi de câte patru, dând compusul de cinci octaedre. Pentru

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctg} \left({\frac {-4{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {132+60{\sqrt {5}}}}}{4+{\sqrt {2}}+2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}}}\right)\approx 14,33033^{\circ },}$

vârfurile coincid în perechi, rezultând compusul de douăzeci de octaedre (UC₁₄, fără libertate de rotație).

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt toate permutările ciclice ale

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\Big (}\pm 2{\sqrt {3}}\sin \theta ,\,\pm (\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}+2\varphi \cos \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}-2\varphi ^{-1}\cos \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm ({\sqrt {2}}-\varphi ^{2}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\varphi -1)\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\varphi ^{-2}\cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}-\varphi \cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}+\varphi ^{-1}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (-\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}+\varphi \cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}+\varphi ^{-1}\cos \theta -\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (-{\sqrt {2}}+\varphi ^{2}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\varphi -1)\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\varphi ^{-2}\cos \theta +\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\end{aligned}}}$

unde φ = (1 + √5)/2 este secțiunea de aur.

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V={\frac {20{\sqrt {2}}}{3}}\,a^{3}\approx 9,428090~a^{3}.}$

Imagini

• Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație
• 
  Compusul cu θ = 0°
• 
  Compusul cu θ = 5°
• 
  Compusul cu θ = 10°
• 
  Compusul cu θ = 15°
• 
  Compusul cu θ = 20°
• 
  Compusul cu θ = 25°
• 
  Compusul cu θ = 30°
• 
  Compusul cu θ = 35°
• 
  Compusul cu θ = 40°
• 
  Compusul cu θ = 45°
• 
  Compusul cu θ = 50°
• 
  Compusul cu θ = 55°
• 
  Compusul cu θ = 60°