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Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento browniano primeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein.[1] É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.
O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.[2]
O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica[3] (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.
O processo de Wiener é caracterizado pelas seguintes propriedades:[4][5]
Por incrementos independentes, diz-se que, se , então e são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para incrementos.
Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com e variação quadrática (o que significa que é também um martingale).
Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes . Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.
Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de ao tempo ) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância e média .
O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que
é um processo de Wiener para qualquer constante não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas , com , induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.
Considere variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média e variância . Para cada , defina um processo estocástico de tempo contínuo
Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de são independentes porque são independentes. Para grande, é próximo de pelo teorema central do limite. Conforme , se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.[6]
A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a e variância igual a , em um tempo fixado :
O valor esperado é zero:
A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:
A covariância e a correlação:
Os resultados para o valor esperado e a variância seguem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal, centrada em zero. Assim
Os resultados para a covariância e a correlação seguem da definição de que incrementos não sobrepostos são independentes, da qual apenas a propriedade de que eles não são correlacionados é usada. Suponha que .
Substituindo
Chegamos em:
Já que e são independentes,
Assim
Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier. Se são variáveis gaussianas independentes com média e variância , então
e
representa um movimento browniano em . O processo escalado
é um movimento browniano em (vide teorema de Karhunen-Loève).
A distribuição conjunta do máximo corrente
e é
Para obter a distribuição incondicional de , integra-se ao longo de :
E o valor esperado[7]
Se em o processo de Wiener tem um valor conhecido , é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo (vide a distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener).
Para todo , o processo é outro processo de Wiener.
O processo para é distribuído como para .
O processo é outro processo de Wiener.
Se uma função polinomial satisfaz a equação diferencial parcial
então o processo estocástico
é um martingale.
Exemplo: é um martingale, que mostra que a variação quadrática de em é igual a . Segue-se que o tempo de primeira saída esperado de de é igual a .
Mais geralmente, para toda função polinomial , o seguinte processo estocástico é um martingale:
em que é a função polinomial
Exemplo: o processo
é um martingale, que mostra que a variação quadrática do martingale on [0, t] é igual a
O conjunto de todas as funções com estes propriedades é composto inteiramente por medidas de Wiener. Isto é, um caminho (função amostral) do processo de Wiener tem todas estas propriedades quase certamente.
Módulo local de continuidade:
Módulo global de continuidade (Lévy):
A imagem da medida de Lebesgue em sob o mapa (a medida imagem) tem uma densidade . Assim,
para uma ampla classe de funções (nomeadamente, todas as funções contínuas, todas as funções localmente integráveis, todas as funções não negativas mensuráveis). A densidade é (mais exatamente, pode ser e será escolhida como) contínua. O número é chamado de tempo local em de ao longo de . É estritamente positiva para todo do intervalo , em que e são o menor e o maior valor de em , respectivamente. Para fora deste intervalo, o tempo local evidentemente desaparece. Tratado como uma função de duas variáveis e , o tempo local é ainda contínuo. Tratado como uma função de (em que está fixado), o tempo local é uma função singular correspondente à medida não atômica sobre o conjunto de zeros de .
Estas propriedades de continuidade são razoavelmente não triviais. Considere que o tempo local também possa ser definido (como a densidade da medida imagem) para uma função suave. Por consequência, entretanto, a densidade é descontínua, a não ser que a função dada seja monótona. Em outras palavras, há um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de seu tempo local. Neste sentido, a continuidade do tempo local para o processo de Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória
O processo estocástico definido por
é chamado de processo de Wiener com deriva e variância infinitesimal . Estes processos representam todos os processos de Lévy contínuos.
Dois processos aleatórios no intervalo de tempo aparecem, grosso modo, quando se condiciona o processo de Wiener a desaparecer nos dois extremos de . Quando não se condiciona mais, o processo assume tanto valores positivos, como negativos em e é chamado de ponte browniana. Condicionado a permanecer positivo em , o processo é chamado de excursão browniana.[8] Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, já que a fórmula não se aplica quando .
Um movimento browniano geométrico pode ser escrito como
É um processo estocástico usado para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, tais como os valores de ações.
O processo estocástico
é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck.
O tempo de chegada a um único ponto pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com distribuição de Lévy. A família destas variáveis aleatórias (indexadas por todos os números positivos ) é uma modificação contínua à esquerda do processo de Lévy. A modificação contínua à direita deste processo é dada pelos tempos de primeira saída a partir de intervalos fechados .
O tempo local de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto . Formalmente,
em que é a função delta de Dirac. O comportamento do tempo local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight.
Considere um evento relacionado ao processo de Wiener (mais formalmente, um conjunto, mensurável no que se refere à medida de Wiener, no espaço de funções), e a probabilidade condicional de dado o processo de Wiener no intervalo de tempo (mais formalmente, a medida de Wiener do conjunto de trajetórias cuja concatenação com a trajetória parcial dada em pertence a ). Então, o processo é um martingale contínuo. Sua propriedade martingale deriva imediatamente das definições, mas sua continuidade é um fato muito especial – um caso especial de um teorema geral que afirma que todos os martingales brownianos são contínuos. Um martingale browniano é, por definição, um martingale adaptado à filtração browniana, sendo esta, por definição, a filtração gerada pelo processo de Wiener.
A integral do tempo do processo de Wiener
é chamada de movimento browniano integrado ou processo de Wiener integrado. Aparece em muitas aplicações e pode-se mostrar por cálculo que tem distribuição , usando o fato de que a covariância do processo de Wiener é .[9]
Todo martingale contínuo (a partir da origem) é um processo de Wiener com tempo mudado.
Exemplo: , em que é outro processo de Wiener (diferente de , mas distribuído como ).
Exemplo: , em que e é outro processo de Wiener.
Geralmente, se for um martingale contínuo, então , em que é a variação quadrática de em e é um processo de Wiener.
Corolário: Considere um martingale contínuo e
Então, apenas os dois casos seguintes são possíveis:
outros casos (tais como , etc.) são de probabilidade .
Especialmente, um martingale contínuo não negativo tem um limite finito (como ) quase certamente.
Tudo o que foi afirmado nesta subseção sobre martingales também se aplica a martingales locais.
Uma classe ampla de semimartingales contínuos (especialmente, de processos de difusão) está relacionada ao processo de Wiener por meio de uma combinação de mudança de tempo e mudança de medida.
Usando este fato, as propriedades qualitativas afirmadas acima para o processo de Wiener podem ser generalizadas para uma classe ampla de semimartingales contínuos.[10][11]
O processo de Wiener de valores complexos pode ser definido como um processo aleatório de valores complexos da forma em que são processos de Wiener independentes (de valores reais).[12]
O escalamento browniano, a reversão de tempo e a inversão de tempo são iguais aos do caso com valores reais.
Quanto à invariância de rotação, para cada número complexo tal que , o processo é outro processo de Wiener de valores complexos
Se for uma função inteira, então, o processo é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo.
Exemplo: em que
e é outro processo de Wiener de valores complexos.
Em contraste com o caso de valores reais, um martingale de valores complexos geralmente não é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo. Por exemplo, o martingale 2Xt + iYt não é (aqui são processos de Wiener independentes, assim como antes).
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