Defina as somas parciais da seguinte forma:
Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar:
Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em e maior ou igual a zero em , assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.
Ainda temos:
Portanto
Da monotonicidade podemos acrescentar:
Agora considere o limite :
- A seqüência de ordem ímpar é não-decrescente e limitada superiormente, portanto converge para um limite .
- A seqüência de ordem par é não-crescente e limitada inferiormente, portanto converge para um limite .
Assim, a passagem ao limite está justificada e vale:
Para provar que a série converge, reste mostrar que , para tal faça:
Denotando este limite por , temos:
- o que é equivalente a:
- ,
De onde se pode concluir a estimativa:
- Exemplo: Teste a convergência da série
- Pelo critério de Liebniz, a série tem que satisfazer as duas condições para convergir.
- , para todo n>N e , O limite do termo geral da sucessão for 0.
- Assim,
- Logo .
- Para a condição , resolve-se por comparação:
- ,portanto a série é decrescente.
- E desta forma converge.
Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser demonstrado pela série harmônica alternada:
que converge por esse teste, mas:
O teste da serie alternada, consiste em um caso particular do criterio de Dirichlet onde bk = (-1)^n