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Na análise complexa, o teorema de Mittag-Leffler diz respeito à existência de funções meromorfas com polos prescritos. Por outro lado, pode ser usado para expressar qualquer função meromorfa como uma soma de frações parciais. É irmão do teorema de fatoração de Weierstrass, que afirma a existência de funções holomorfas com zeros prescritos. Tem o nome de Gösta Mittag-Leffler.
Seja um conjunto aberto em e um subconjunto discreto fechado. Para cada em , tem-se que é um polinômio em . Portanto, existe uma função meromorfa em tal que para cada , a função tem apenas uma singularidade removível em . Em especial, a principal parte da função em é .
Pode-se provar o teorema da seguinte forma abaixo:
Se é finito, basta dizer que .
E se não é finito, considera-se a soma finita em que é um subconjunto finito de .
Enquanto que o possa não convergir na medida em que F se aproxima de E, pode-se subtrair funções racionais bem escolhidas com polos fora de D (fornecido pelo teorema de Runge), sem que altere as partes principais do e de forma que a convergência seja garantida.
Supondo que deseja-se uma função meromorfa com polos simples de resíduo 1 em todos os números inteiros positivos. Com a notação vista acima, escreve-se:
e , o teorema de Mittag-Leffler afirma (não construtivamente) a existência de uma função meromorfa com parte principal em para cada número inteiro positivo . Assim, a tem as propriedades desejadas. De forma mais construtiva, pode-se escrever:
Esta série converge normalmente em (como pode ser mostrado usando o teste M) para uma função meromorfa com as propriedades desejadas.
Aqui estão alguns exemplos de expansões de polos de funções meromorfas:
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