Teorema de Jordan-Hölder

O Teorema de Jordan-Hölder é um teorema criado pelos matemáticos Otto Hölder e Camille Jordan. O teorema Jordan-Hölder afirma que dadas duas series indefinidas de composição de um determinado grupo então estas são equivalentes. Assim, eles têm o mesmo comprimento de composição e os mesmos fatores de composição, até a permutação e o isomorfismo. Camille Jordan conceituou a composição e séries principais (cf. séries principais ) para esses grupos e demonstrou que os índices de duas séries do mesmo tipo (ou seja, os índices dos subgrupos GEu no Gi + 1) são os mesmos, excetuando-se pela ordem de aparência. Já Otto Hölder provou que os fatores correspondentes são isomórficos.^[1]

Escrita Formal do Teorema

Seja G um Grupo finito. Considere duas séries de decomposição.

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft H_{2}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{k-1}\triangleleft H_{k}=G}$

${\displaystyle 1=K_{0}\triangleleft K_{1}\triangleleft K_{2}\triangleleft \cdots \triangleleft K_{l-1}\triangleleft K_{l}=G}$

Então ${\displaystyle k=l}$ e a lista de fatores de composição é única até a permutação, ou seja, as listas ${\displaystyle \{H_{i+1}/H_{i}\}}$${\displaystyle \{K_{j+1}/K_{j}\}}$ são os mesmos, depois de reorganizar uma das listas adequadamente.

Demonstração

Tal como acontece com o teorema fundamental da aritimética, a prova procede por indução, em ${\displaystyle \mid G\mid }$.

Para ${\displaystyle \mid G\mid =1}$ é trivial. Agora suponha que o teorema foi provado para todos os grupos estritamente menores que ${\displaystyle G}$Pegue duas séries de composição ${\displaystyle (H_{1},H_{2}.\ldots ,H_{k})}$ e ${\displaystyle (K_{1},K_{2}.\ldots ,K_{l})}$ para ${\displaystyle G}$. O teorema é verdadeiro para ${\displaystyle H=H_{k-1}}$ e para ${\displaystyle K=K_{l-1}}$.

Se ${\displaystyle H=K}$ então nada temos a fazer, pois as séries de composição devem ser rearranjos uma da outra.

Se ${\displaystyle H\neq K}$, seja ${\displaystyle L=H\cap K}$.

então ${\displaystyle L}$ tem uma série de composição composta pelos grupos ${\displaystyle L_{j}}$, pela hipótese indutiva. Então existem duas séries de composição para ${\displaystyle H}$, aquele que envolve ${\displaystyle H_{i}}$ e a seguinte:

${\displaystyle 1\vartriangleleft L_{1}\vartriangleleft L_{2}\vartriangleleft \cdots L_{t-1}\vartriangleleft L_{t}\vartriangleleft H}$

(note que ${\displaystyle L=H\cap K}$ é um subgrupo máximo de ${\displaystyle H}$, pois ${\displaystyle H/(H\cap K)\cong G/K}$ pelo segundo teorema do isomorfismo)

Por indução, esta série de composição deve ser um rearranjo da outra:

${\displaystyle (H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots H/H_{k-2})\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots L/L_{t-1},H/L)}$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \sim }$ significa "é o mesmo até a permutação". Note que os comprimentos sendo os mesmos implica que ${\displaystyle t+1=k}$

Analogamente, obtemos duas séries de composição para ${\displaystyle K}$ usando o mesmo ${\displaystyle L_{i}}$ para o segundo, isto é:

${\displaystyle (K_{1}/K_{0},K_{2}/K_{1},\cdots K/K_{l-2})\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots L/L_{t-1},K/L)**}$

então ${\displaystyle t+1=l}$ e isso prova que ${\displaystyle k=l}$

Agora, usando ${\displaystyle G/H}$ em ${\displaystyle *}$ e ${\displaystyle G/K}$ em ${\displaystyle **}$, temos:

${\displaystyle (H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots ,H/H_{k-2},G/H)\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots ,L/L_{t-1},H/L,G/H)}$

${\displaystyle (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots ,L/L_{t-1},K/L,G/K)\thicksim (H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots ,H/H_{k-2},G/K)}$

Queremos que as duas listas externas sejam as mesmas até a permutação. As duas listas internas são as mesmas, exceto pelas duas últimas entradas. Mas ${\displaystyle (H/L,G/H)}$ e ${\displaystyle (K/L,G/K)}$ são iguais a ${\displaystyle (G/K,G/H)}$ e ${\displaystyle (G/H,G/K)}$, também pelo segundo teorema do isomorfismo.

Portanto, as duas listas internas são as mesmas até a permutação (uma transposição dos dois últimos fatores) ${\displaystyle \blacksquare }$

Exemplo de código fonte

Suponha que temos um grupo finito G = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e queremos encontrar a sua decomposição em termos de grupos simples. Para isso, podemos usar o teorema de Jordan-Hölder.

Primeiro, criamos a lista de subgrupos de G:

List<Set<Integer>> subgroups = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < G.size(); i++) {
  for (int j = i+1; j <= G.size(); j++) {
    subgroups.add(new HashSet<>(G.subList(i, j)));
  }
}

Em seguida, calculamos a série normal de subgrupos de G:

public static List<Group> getNormalSeries(Group G, List<Group> subgroups) {
    List<Group> normalSeries = new ArrayList<Group>();

    // Inclui o grupo G como o primeiro termo da série normal
    normalSeries.add(G);

    // Se o grupo G é trivial, a série normal consiste apenas do grupo trivial
    if (G.isTrivial()) {
        return normalSeries;
    }

    // Para cada subgrupo H em subgroups, encontra o maior subgrupo normal K de G que contém H
    for (Group H : subgroups) {
        Group K = G.getLargestNormalSubgroupContaining(H);
        if (K.isTrivial()) {
            continue;
        }
        // Recursivamente chama getNormalSeries com o grupo K e subgroups - H para obter a série normal de K
        List<Group> normalSeriesOfK = getNormalSeries(K, subtractSubgroup(subgroups, H));
        // Adiciona os grupos da série normal de K à série normal de G
        for (Group N : normalSeriesOfK) {
            if (!normalSeries.contains(N)) {
                normalSeries.add(N);
            }
        }
    }

    return normalSeries;
}

Por fim, usamos a série normal para encontrar a decomposição de G em termos de grupos simples:

public static List<Group> getSimpleFactors(List<Group> normalSeries) {
    List<Group> simpleFactors = new ArrayList<>();
    for (Group group : normalSeries) {
        if (group.isSimple()) {
            simpleFactors.add(group);
        }
    }
    return simpleFactors;
}

Referências

http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/594_2013/JordanHolder.pdf

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7, New York: Springer.
• The Jordan-Holder Theorem - Notes for Wednesday January 23”. David E Speyer. University of Michigan http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/594_2013/JordanHolder.pdf

• Portal da matemática

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1. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Jordan-H%C3%B6lder_theorem