Sequência de Lucas

 Nota: Não confundir com números de Lucas (uma sequência de Lucas específica)

Em matemática, as sequências de Lucas ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ e ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$ são certas sequências de inteiros que satisfazem a relação de recorrência $${\displaystyle x_{n}=Px_{n-1}-Qx_{n-2},}$$ em que ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ são inteiros fixos. Qualquer outra sequência satisfazendo esta relação de recorrência pode ser representada como uma combinação linear das sequências de Lucas ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ e ${\displaystyle V_{n}(P,Q).}$

Mais geralmente, sequências de Lucas representam sequências de polinômios em ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ com coeficientes inteiros.

Entre os exemplos de sequências de Lucas estão os números de Fibonacci, os números de Mersenne, os números de Pell, os números de Lucas, os números de Jacobsthal e um superconjunto dos números de Fermat. As sequências de Lucas recebem o nome do matemático francês Édouard Lucas.^[1]

Relações de recorrência

Dados dois parâmetros inteiros ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q,}$ as sequências de Lucas do primeiro e segundo tipo, ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ e ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$ respectivamente, são definidas pelas relações de recorrência: $${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,}$$ $${\displaystyle U_{1}(P,Q)=1,}$$ $${\displaystyle U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ para }}n>1,}$$

e $${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,}$$ $${\displaystyle V_{1}(P,Q)=P,}$$ $${\displaystyle V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ para }}n>1,}$$

Não é difícil mostrar que para ${\displaystyle n>0,}$ $${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},}$$ $${\displaystyle V_{n}(P,Q)={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.}$$

Exemplos

A tabela a seguir fornece os primeiros termos das sequências de Lucas ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ e ${\displaystyle V_{n}(P,Q):}$

${\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}}$

Nomes específicos

As sequências de Lucas para alguns valores de ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ recebem nomes específicos:

U_n(1,−1) : números de Fibonacci

V_n(1,−1) : números de Lucas

U_n(2,−1) : números de Pell

V_n(2,−1) : números de Pell-Lucas

U_n(1,−2) : números de Jacobsthal

V_n(1,−2) : números de Jacobsthal-Lucas

U_n(3, 2) : números de Mersenne 2ⁿ − 1

V_n(3, 2) : números de forma 2ⁿ + 1, que incluem os números de Fermat (Yubuta 2001).

U_n(x,−1) : polinômios de Fibonacci

V_n(x,−1) : polinômios de Lucas

U_n(x+1, x) : Repunits de base x

V_n(x+1, x) : xⁿ + 1

Algumas sequências de Lucas têm entradas na enciclopédia online de sequências de inteiros (OEIS):

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$	${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$
-1	3	A214733
1	-1	A000045	A000032
1	1	A128834	A087204
1	2	A107920
2	-1	A000129	A002203
2	1	A001477
2	2	A009545	A007395
2	3	A088137
2	4	A088138
2	5	A045873
3	-5	A015523	A072263
3	-4	A015521	A201455
3	-3	A030195	A172012
3	-2		A206776
3	-1	A006190	A006497
3	1	A001906	A005248
3	2	A000225	A000051
3	5	A190959
4	-3	A015530	A080042
4	-2	A090017
4	-1	A001076	A014448
4	1	A001353	A003500
4	2		A056236
4	3	A003462	A034472
4	4	A001787
5	-3	A015536
5	-2	A015535
5	-1		A087130
5	1		A003501
5	4	A002450	A052539

Aplicações

Tais sequências têm aplicações na Teoria de Números^[2] e na prova que um dado número é primo (primalidade).

Referências

1. «Lucas Numbers | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (em inglês). Consultado em 17 de agosto de 2021
2. Pontes, Fabiany Lais Gomes de; Gobbi, Cristiano Rodrigo; Sousa, Enne Karol Venancio de (25 de agosto de 2018). «AS CONTRIBUIÇÕES DE ÉDOUARD LUCAS PARA A TEORIA DOS NÚMEROS.». Boletim Cearense de Educação e História da Matemática (14): 243–252. ISSN 2447-8504. doi:10.30938/bocehm.v5i14.231. Consultado em 17 de agosto de 2021