Uma relação simétrica é um tipo de relação binária.[1][2] Um exemplo é a relação "é igual a", porque se é verdadeiro, então também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária sobre um conjunto é simétrica se e somente se:
Se representa o inverso de , então é simétrica se e somente se .[3][4]
A simetria, juntamente com a reflexividade e a transitividade, são as três propriedades definidoras de uma relação de equivalência.[4]
Seja uma relação simétrica ou assimétrica aplicada em um conjunto , então tem uma representação particular para cada modo de descrever uma relação binária.
Notação | Relação simétrica | Relação assimétrica |
---|---|---|
Como pares ordenados | ||
Como matriz de adjacência | Matriz cuja transposta é tal que | Matriz cuja diagonal tem apenas zeros, isto é, e também produz uma matriz simétrica. |
Como grafo | É um grafo que pode ser representado como um grafo não direcionado. | É um grafo direcionado sem laços ou ciclos. |
Na matemática
- "é igual a" (igualdade) (enquanto "é menor que" não é simétrico)
- "é comparável a", para elementos de um conjunto parcialmente ordenado.
- "... e ... são ímpares"
Fora da matemática
- "é casado com" (na maioria dos sistemas legais)
- "é um irmão totalmente biológico de"
- "é um homófono de"
- "é colega de trabalho de"
- "é companheiro de equipe de"
Por definição, uma relação não vazia não pode ser simétrica e assimétrica (onde se está relacionado a , então não pode estar relacionado a (da mesma forma)). No entanto, uma relação pode ser nem simétrica nem assimétrica, que é o caso de "é menor ou igual a" e "presa em").
Simétrica e antissimétrica (onde a única maneira que pode estar relacionado a e estar relacionado a é se ) são na verdade independentes um do outro, como esses exemplos mostram.
Simétrica | Não simétrica | |
Antissimétrica | igualdade | "é menor ou igual a" |
Não antissimétrica | congruência na aritmética modular | "é divisível por", sobre o conjunto de inteiros |
Simétrica | Não simétrica | |
Antissimétrica | "é a mesma pessoa, e é casada" | "é o plural de" |
Não antissimétrica | "é um irmão totalmente biológico de" | "presas em" |
Assimétrica antissimétrica
A relação simétrica não é o oposto da antissimétrica.[3][4]
Existem relações que são simétricas e antissimétricas ao mesmo tempo (como igualdade), outras que não são simétricas ou antissimétricas (como divisibilidade), outras que são simétricas mas não antissimétricas (como a relação de congruência do módulo de n) e outras que são antissimétricas, mas não simétricas (como a relação "menor que").
Uma relação simétrica também transitiva e reflexiva é uma relação de equivalência.[4]
Uma maneira de conceituar uma relação simétrica na teoria dos grafos é que uma relação simétrica é uma aresta, com os dois vértices da aresta sendo as duas entidades assim relacionadas. Assim, relações simétricas e grafos não direcionados são objetos combinativamente equivalentes.
- Villalpando Becerra, José Francisco. Matemáticas discretas : aplicaciones y ejercicios. México D.F.: [s.n.] ISBN 9786074389258. OCLC 908045703
- Johnsonbaugh, Richard.; Sánchez Ruiz, Ariadne. (2005). Matemáticas discretas 6a. ed ed. Naucalpan de Juárez: Pearson Educacion. ISBN 9702606373. OCLC 758150986
- Velleman, Daniel J.,. How to prove it : a structured approach Second edition ed. Cambridge: [s.n.] ISBN 0521861241. OCLC 62084309
- Scheinerman, Edward R. (2011). Matemática discreta : uma introdução. São Paulo (SP): Cengage Learning. ISBN 9788522107964. OCLC 817274526
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