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lugar geométrico dos zeros de um polinômio quadrático Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:
Como a dimensão do plano é 2, ou , as quádricas no plano cartesiano têm dimensão um e são curvas planas. Também são chamados de seções cónicas ou cónicas.
Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.
Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral, for cortada por um plano paralelo a um dos planos coordenados, a curva de interseção será uma cônica.
A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo e C = então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:
Se aproximarmos um plano de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:
Porém, se o plano tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que .
Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.
Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.
Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.
Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.
Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.
r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.
Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).
S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.
Superfície quádrica | Fórmulas | Desenho |
---|---|---|
Elipsoide | ![]() | |
Elipsoide de revolução (caso particular do elipsoide) | ![]() ![]() | |
Esfera (caso particular do elipsoide de revolução) | ![]() | |
Paraboloide elíptico | ||
Paraboloide de revolução (caso particular do paraboloide elíptico) | ![]() | |
Paraboloide hiperbólico | ![]() | |
Hiperboloide de uma folha | ![]() | |
Hiperboloide de duas folhas | ![]() | |
Cone | ||
Cilindro elíptico | ![]() | |
Cilindro circular (caso particular do Cilindro elíptico) | ![]() | |
Cilindro hiperbólico | ![]() | |
Cilindro parabólico | ![]() |
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