Princípio mínimo de Pontryagin

Princípio mínimo de Pontryagin (ou máximo) é utilizado na teoria controle otimizado^{[nota 1]} para encontrar o melhor controle possível para a tomada de sistemas dinâmicos^{[nota 2]} de um estado para outro, especialmente na presença de restrições para os controles de estado ou de entrada. O princípio foi formulada pelo matemático russo Lev Semenovich Pontryagin e seus alunos. Ele tem como um caso especial da equação do cálculo das variações de Euler-Lagrange^{[nota 3]}. O princípio afirma, informalmente, que o Hamiltoniano^{[nota 4]} deve ser minimizado sobre ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, o conjunto de todos os controles permitidos. Se ${\displaystyle u^{*}\in {\mathcal {U}}}$ é o controle ideal para o problema, então o princípio afirma que:

${\displaystyle H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t),\quad \forall u\in {\mathcal {U}},\quad t\in [t_{0},t_{f}]}$

onde ${\displaystyle x^{*}\in C^{1}[t_{0},t_{f}]}$ é o estado ideal de trajetória e ${\displaystyle \lambda ^{*}\in BV[t_{0},t_{f}]}$ é o coestado^{[nota 5]} ideal de trajetória. ^[1] O resultado foi aplicado com sucesso em problemas de tempo mínimo onde o controle de entrada é restringido, mas pode também ser útil no estudo de problemas estado limitado. Condições especiais para o Hamiltoniano também podem ser derivadas. Quando o tempo final ${\displaystyle t_{f}}$ é fixo e o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo ${\displaystyle \left({\tfrac {\partial H}{\partial t}}\equiv 0\right)}$, então:

${\displaystyle H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv \mathrm {constant} \,}$

e se o tempo final é livre, então:

${\displaystyle H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv 0.\,}$

Quando satisfeito ao longo de uma trajetória, o princípio mínimo de Pontryagin é uma condição necessária para um ótimo. A equação HJB^{[nota 6]} fornece condições suficientes para um ótimo, mas essa condição deve ser satisfeita sobre a totalidade do estado do espaço.^[2]

Maximização e minimização

O princípio foi inicialmente conhecido como princípio máximo de Pontryagin e sua prova é historicamente baseado na maximização do Hamiltoniano. A aplicação inicial desse princípio foi para a maximização da velocidade terminal de um foguete. Contudo, como foi subsequentemente utilizado principalmente para minimização do índice de desempenho foi então referido como o princípio mínimo. O livro Pontryagin resolveu o problema de minimizar um índice de desempenho.^[3]

Anotação

No que segue estaremos fazendo uso da anotação abaixo.

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))={\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}|_{x=x(T)}\,}$

${\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}|_{x=x(T)}&\cdots &{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$

Ver também

• Multiplicadores de Lagrange
• Método do gradiente conjugado
• Sistema hamiltoniano
• Equação de Hamilton–Jacobi

Notas

1. A teoria do ótimo controle, uma extensão do cálculo das variações, é um método de otimização matemática para derivar políticas de controle. O método é em grande parte devido ao trabalho de Lev Pontryagin e seus colaboradores na União Soviética e Richard Bellman.
2. O atractor de Lorenz é um exemplo de sistema dinâmico não-linear. O estudo deste sistema incentivou a criação da teoria do Caos.
3. Em condições ideais, os valores máximo e mínimo de uma dada função podem ser localizados ao encontrar os pontos onde sua derivada desaparece (ou seja, é igual a zero). Por analogia, as soluções de simples problemas variacionais podem ser obtidos resolvendo a associada equação de Euler-Lagrange.
4. A teoria de controle ótimo hamiltoniano foi desenvolvida por Lev Pontryagin como parte de seu princípio mínimo. A teoria foi inspirada, mas é diferente da mecânica hamiltoniana clássica.
5. Equações Coestado estão relacionados às equações de estado utilizadas no controle ideal. Elas são apresentadas como um vetor de equações diferenciais de primeira ordem com o lado direito sendo o vetor de derivadas parciais do negativo do Hamiltoniano no que diz respeito àos estados variáveis. ${\displaystyle {\dot {\lambda }}^{T}(t)=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}$
6. A equação de Hamilton-Jacobi-Bellman é uma equação de derivadas parciais(EDP)que é fundamental para a teoria do controle ótimo ou otimizado. A solução da equação HJB é a "função de valor", que dá a relação custo-para-ir ótimo para um dado sistema dinâmico com uma associada função de custo.

Referências

1. O controlo óptimo e as suas múltiplas aplicações por Cristiana J. Silva - Boletim da SPM 61, Outubro 2009, pp. 11–37 []
2. Pontryagin, L.S. et al. The Mathematical Theory of Optimal Processes, vol. 4. Interscience, 1962. Translation of a Russian book. ISBN 2881240771 and ISBN 978-2881240775
3. See p.13 of the 1962 book of Pontryagin et al. referenced below.

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