Números primos gémeos

Números primos gémeos, na teoria dos números, são dois números primos cuja diferença é igual a dois. Os primeiros pares de números primos gémeos são ${\displaystyle (3,5),~(5,7),~(11,13),~(17,19),~(29,31),~(41,43),~(59,61),~(71,73),~(101,103),~(107,109),~(137,139)}$ (sequência A001097 na OEIS). Os maiores números conhecidos com estas características são ${\displaystyle 3756801695685\cdot ~2^{666669}\pm 1}$,^[1] descobertos em dezembro de 2011. Existem cerca de mil números primos gémeos abaixo de 100 000 e oito mil abaixo de 1 000 000.^[2]

Propriedades

Sabe-se que com exceção dos números 2 e 3 todos os números primos gêmeos são da forma ${\displaystyle p=6K\pm 1}$. Daí segue, que todos os pares de primos gêmeos, com exceção do 3 e 5 são da forma ${\displaystyle (6K-1,6K+1)}$. Além disso, segue que o único inteiro que é parte de 2 pares de primos gêmeos é o 5.

Em 1949 P.A. Clement^[3] demonstrou que ${\displaystyle (p,~p+2)}$ é um par de números primos gémeos se e somente se ${\displaystyle 4((p-1)!+1)\equiv -p{\pmod {p(p+2)}}}$.^[4]

Infinidade

O problema de saber se existe uma infinidade de números primos gémeos é muito antigo, tendo Euclides conjecturado que sim. Esta conjectura é chamada de conjectura dos primos gémeos e é um dos problemas em aberto da Matemática. O matemático francês Alphonse de Polignac conjecturou, de forma mais geral, que para cada natural ${\displaystyle k}$ há infinitos pares de primos ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle p'}$ tais que ${\displaystyle p'-p=2k}$. O caso ${\displaystyle k=1}$ é a conjectura dos primos gémeos.

Em 17 de Abril de 2013, Yitang Zhang anunciou uma prova de que para algum inteiro ${\displaystyle N}$ menor que 70 milhões, há infinitos pares de primos cuja diferença é ${\displaystyle N}$.^[5] Terence Tao, em sequência, propôs um projeto Polymath com a intenção de melhorar colaborativamente a cota de Zhang.^[6] Em abril de 2014, um ano após o anúncio inicial, a melhor cota provada é de 246, no lugar de 70 milhões.^[7]

Teorema de Brun

Em 1915, Viggo Brun provou que a soma dos inversos dos primos gémeos é convergente. Esse resultado, chamado teorema de Brun, foi o primeiro uso do crivo de Brun, e ajudou a iniciar o desenvolvimento da teoria dos crivos moderna. Uma versão moderna do argumento de Brun pode ser usado para mostrar que a quantidade de primos gémeos menores que ${\displaystyle N}$ não ultrapassa ${\displaystyle C{\frac {N}{(\log N)^{2}}}}$ para alguma constante absoluta C>0.^[8] Tal resultado é condizente a primeira conjectura de Hardy-Littlewood, que afirma que a quantidade de primos gémeos menores que ${\displaystyle N}$ deve ser da ordem de ${\displaystyle c{\frac {N}{(\log N)^{2}}}}$ para alguma constante ${\displaystyle c>0}$.^[9]

Ver também

• Número primo
• Primo de Mersenne
• Descoberta do Defeito de Ponto Flutuante
• Conjectura dos primos gêmeos
• Crivo de Brun
• Constante de Brun

Referências

1. «The Prime Database»
2. «Single (or isolated or non-twin) primes: Primes p such that neither p-2 nor p+2 is prime.» (em inglês). The OEIS. Consultado em 3 dezembro de 2013
3. P. A. Clement (1949). «Congruences for sets of primes». American Mathematical Monthly. 56 (1): 23-25. doi:10.2307/2305816
4. Cong Lin, Li Zhipeng (2 de agosto de 2004). «On Wilson's Theorem and Polignac Conjecture» (PDF). Consultado em 30 de dezembro de 2007
5. «First proof that infinitely many prime numbers come in pairs: Nateure News & Comment»
6. «Polymath proposal: bounded gaps between primes»
7. «Bounded gaps between primes - Polymath1wiki»
8. Bateman & Diamond (2004). [S.l.: s.n.] p. 313
9. «k-Tuple Conjecture»

Bibliografia

• Sloane, Neil; Plouffe, Simon (1995). The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.
• Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G. (2004). Analytic Number Theory. [S.l.]: World Scientific. ISBN 981-256-080-7. Zbl 1074.11001
• Richard L. Francis, "Isolated Primes", J. Rec. Math., 11 (1978), 17-22.

Ligações externas

• «Distribuição de números primos tem novo teorema, Scientific American (Brasil).»
• «Matemático peruano resolve problema de 3 séculos sobre números primos, UOL.»
• «On Twin Primes Dedicated to the Memory of Professor Dr K. D. Soomro.» (PDF) (em inglês)
• «Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility.» (PDF) (em inglês)
• «TOWARDS THE PROOF OF TWIN PRIMES CONJECTURE: A MODULAR CHARACTERIZATION.» (PDF) (em inglês)
• «On Wilson's Theorem and Polignac Conjectur.» (PDF) (em inglês)

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