Paradoxo de São Petersburgo

O paradoxo de São Petersburgo é um dos mais famosos paradoxos em teoria das probabilidades. Foi publicado pela primeira vez em 1738 em um artigo pelo matemático Daniel Bernoulli, embora tenha sido introduzido pelo seu primo Nicolau I Bernoulli em 1713.^[1]

Enunciado

Pedro e Paulo concordam em jogar um jogo de cara ou coroa, em que jogam uma moeda honesta sucessivamente n vezes, até que o resultado seja cara; e Paulo pagará a Pedro ${\displaystyle 2^{n}}$ moedas. Por exemplo, se o primeiro lance der cara, Paulo dará duas moedas a Pedro; se o primeiro lance der coroa e o segundo der cara, Paulo dará a Pedro quatro moedas. Se a cara só aparecer no terceiro lance, Pedro receberá oito moedas.

Quanto deve Pedro pagar a Paulo pelo privilégio de jogar?

O senso comum sugere uma soma finita modesta. Mas ao calcular a esperança do pagamento que Pedro recebe, temos uma resposta diferente:

Sendo ${\displaystyle X}$ o pagamento que Pedro recebe após um jogo, calcula-se a esperança de ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle E(X)=\sum _{n=1}^{\infty }\ 2^{n}\times P(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\ 2^{n}\times {\frac {1}{2^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\ 1=\infty }$

Ou seja, Pedro poderia pagar a Paulo qualquer quantia para jogar e teria lucro se jogasse um grande número de vezes. Isso assumindo que o capital de Pedro e o número de jogos que os dois podem jogar são ilimitados.

O paradoxo ocorre quando analisamos os problemas no mundo real. Quando Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon fez um teste empírico do caso, achou que em 2084 jogos Paulo teria pago a Pedro 10057 moedas. Isso indica que em qualquer jogo a esperança de Paulo, em vez de ser infinita, na verdade é algo inferior a 5 moedas, já que ${\displaystyle {\frac {10057}{2048}}=4,91\dots }$

Uma explicação para esse paradoxo é o fato de que o cálculo da esperança é baseado num número infinito de jogadas, em que, eventualmente haveria um pagamento a Pedro que compense o seu custo. Porém, os eventos que pagam pouco, n=1, 2, ...8, por exemplo, ocorrem em mais de 99% das jogadas, o que leva ao resultado obtido po George-Louis Lecler.

Outras explicações foram dadas para o paradoxo durante o século XVIII, embora algumas pessoas tenham preferido, como solução, observar que o problema é inerentemente impossível, pois a fortuna de Paulo é necessariamente finita; portanto, ele não poderia pagar as somas ilimitadas que poderiam ser necessárias no caso de uma longa demora no aparecimento de cara.

Referências

1. Cusinato, Júnior, Rafael Tiecher, Sabino Porto. «A TEORIA DA DECISÃO SOB INCERTEZA E A HIPÓTESE DA UTILIDADE ESPERADA» (PDF). www.ufrgs.br. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 11 de março de 2023

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