Uma matriz de transição, matriz estocástica ou ainda matriz de Markov (em homenagem ao matemático russo Andrey Markov) é uma matriz quadrada que tem duas características: 1) todas as entradas são não-negativas e 2) todas as colunas tem soma de entradas igual a 1.[1] É utilizada para descrever as transições da cadeia de Markov.
Por exemplo, a matriz abaixo é uma matriz de Markov:
As matrizes de Markov desempenham um papel importante na dinâmica de sistemas econômicos[1] .
- Já que a probabilidade de se mudar de um estado para um estado qualquer no período seguinte (incluindo a possibilidade de "continuar no mesmo estado") tem que ser 1, necessariamente todas as colunas tem soma de entradas igual a 1, ou seja,
- A probabilidade de se mudar do estado para o estado em duas etapas é dada pelo elemento da matriz P elevada ao quadrado:
- Generalizando, a probabilidade de se mudar do estado para o estado em "k" etapas é dada pelo elemento da matriz P elevada a k:
- Uma distribuição inicial é dada por um vetor linha ou coluna, chamado de vetor de estado.[2]
- Dada uma distribuição inicial e uma matriz de transição P, podemos descobrir diretamente a distribuição do período seguinte. O sistema de equações implícito na multiplicação de vetores abaixo é chamado de sistema de Markov ou processo de Markov [1] :
- Se for um vetor coluna,
- Se for um vetor linha, , onde "T" indica uma matriz transposta.
Um país têm pessoas que só ficam em três estados: 1=feliz, 2=triste e 3=louca.
Suponha que a matriz de transição seja
- .
A distribuição inicial é dada pelo vetor de estado de dimensão 3X1 (portanto neste caso um vetor coluna)[2] :
Isso significa que há 1/3 da população em cada um dos três estados no período .
Após um período, a distribuição desta população será:
Isso significa que após um período, 1/4 da população estará no estado 1 (feliz), 1/2 da população estará no estado 2 (triste) e 1/4 no estado 3 (louca).
SIMON, Carl P. e BLUME, Lawrence. Matemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23 - Autovalores e Autovetores.