Limite superior e limite inferior
limites de uma sequência Da Wikipédia, a enciclopédia livre
limites de uma sequência Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.
Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o. limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.
Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos.
Considere uma sequência de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:
A sequência é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada for infinito) é o ínfimo da sequência.
O limite superior de é então definido o limite da sequência . Denota-se:
E, de forma perfeitamente análoga, define-se o limite inferior:
Sejam e sequências de números reais, então valem as afirmações:
Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.
Se é uma sequência de conjuntos, então define-se:
Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:
É sempre verdade que . Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:
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