Regra do produto

 Nota: Se procura pela regra do princípio da contagem, veja Regra do produto (combinatória).

Em matemática, a regra do produto, também designada por "lei de Leibniz", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.^[1]

Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,

Em linguagem matemática	Em português
${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$	A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f vezes a função g e 2) a derivada de g vezes a função f
Ou, o que é a mesma coisa, ${\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x){{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x){{d \over dx}\left[g(x)\right]}}$

ou, segundo a notação de Leibniz:

${\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.}$

A derivada do produto de três variáveis, por sua vez, é, ainda na notação de Leibniz:

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+{\dfrac {dv}{dx}}\cdot u\cdot w+{\dfrac {dw}{dx}}\cdot u\cdot v}$

Demonstração simplificada, e ilustrada geometricamente[2]

Figura 1. Ilustração geométrica da régra do produto.

Sejam ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ duas funções diferenciáveis de ${\displaystyle x}$. Definindo ${\displaystyle u=f(x)}$  e  ${\displaystyle v=g(x)}$, a área ${\displaystyle uv}$ do retângulo (ver Figura 1) é representada por ${\displaystyle f(x)g(x)}$.

se ${\displaystyle x}$ varia por ${\displaystyle \Delta x}$, as variações correspondentes em ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ são designadas por ${\displaystyle \Delta u}$ e ${\displaystyle \Delta v}$.

A variação da área do retângulo é então:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (uv)&=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv\\&=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v),\end{aligned}}}$

isto é, a soma das três áreas sombreadas na Figura 1.

Dividindo por ${\displaystyle \Delta x}$ :

${\displaystyle {\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}=\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)v+u\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)+\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)\Delta x.}$

E tomando o limite ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$, obtém-se:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)v+u\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right).}$

Exemplo

Seja uma função ${\displaystyle h(x)=xe^{x}}$. Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e ${\displaystyle g(x)=e^{x}}$. Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

${\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x)\cdot {{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x)\cdot {{d \over dx}\left[g(x)\right]}=}$

Substituindo f(x) por x, g(x) por e ${\displaystyle e^{x}}$, a derivada de g(x) por ${\displaystyle e^{x}}$ (pois a derivada de ${\displaystyle e^{x}}$ é ${\displaystyle e^{x}}$) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

${\displaystyle ={d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=e^{x}\cdot 1+x\cdot e^{x}=(x+1)e^{x}}$

Referências

1. STEWART, James. Cálculo - volume 1. 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 190.
2. A parte algébrica da seguinte demonstração é equivalente à apresentada no livro Calculus: An Introductory Approach (1961), de Ivan Niven, nas páginas 75 e 76.