Em matemática, o termo identidade tem vários significados diferentes e importantes.
- Identidade pode referir-se a uma igualdade que permanece verdadeira quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, ao contrário de uma equação, que pode ser verdadeira apenas sob condições mais particulares.
- São exemplos bastante estudados as identidades trigonométricas, tais como , que vale para todo número real , ou também
- sen (a+b) = sen a cos b + sen b cos a,
- que é verdadeira, quaisquer que sejam os números a e b. Por outro lado, a igualdade é verdadeira para muitos valores de , mas não todos. Logo, trata-se de uma equação, não de uma identidade.
- Também é uma identidade a expressão , enquanto que é apenas uma equação que tem como conjunto-solução o conjunto dos pares de números tais que ou
Alguns autores escrevem o símbolo ≡ (barra tripla) no lugar do símbolo de igual (=) para distinguir identidades de equações. Nesse contexto, o conhecimento de identidades ajuda a simplificar expressões e resolver problemas.
O símbolo ≡ pode ser usado em outras situações. Uma delas é para estabelecer uma nova notação. Outro uso frequente é em relações de congruência.
- Em álgebra, a identidade, também chamando o elemento identidade de um conjunto munido de uma operação binária, é o elemento neutro para aquela operação.
- Um caso particular dessa situação é a matriz identidade elemento do conjunto das matrizes quadradas de tamanho n. A matriz identidade, geralmente denotada por é a matriz que tem 1 na diagonal principal e 0 em todas as outras posições. Se A for outra matriz qualquer, teremos , o que mostra que é neutro para a operação de multiplicação de matrizes.
- A função identidade de um conjunto C em si mesmo (), em geral denotada por ou , é a função que leva cada elemento em si mesmo. Em outras palavras, para todo em C. Essa função é um elemento identidade no conjunto de todas as funções de C em si mesmo em relação à composição de funções.