Grupo de espaço

Em cristalografia, o grupo de espaço (ou grupo espacial, grupo cristalográfico, grupo de Fedorov) de um cristal é uma descrição da simetria do cristal, e pode ter um de 230 tipos. Em matemática, grupos de espaço também são estudados em dimensões outras que 3 onde são algumas vezes chamadas grupos de Bieberbach, e são grupos discretos cocompactos de isometrias de um espaço euclideano orientado.

Uma fonte definitiva sobre grupos de espaço tridimensionais é o International Tables for Crystallography (Tabelas Internacionais para Cristalografia).^[1]

História

Os grupos de espaço em 3 dimensões foram primeiramente enumerados por Fyodorov (1891), e pouco depois foram enumerados independentemente por Schönflies (1891) e Barlow (1894). Todas estas primeiras enumerações continham vários pequenos erros, e a lista correta de 230 grupos de espaço foi encontrada durante a correspondência entre Fyodorov e Schönflies.

Grupos de espaço em 2 dimensões são os 17 "grupos de papel de parede" que tinham sido conhecidos durante vários séculos.

Elementos de um grupo de espaço

Os grupos de espaço em três dimensões são obtidos a partir de combinações dos 32 grupos pontuais cristalográficos com as 14 redes de Bravais, cada um destes últimos pertencente a um dos sete sistemas cristalinos. Isso tem como resultado um grupo de espaço ser uma combinação da simetria translacional de um célula unitária incluindo a centragem da rede, as operações de simetria de grupo pontual de reflexão, rotação e rotação imprópria (também chamada rotoinversão), e as operações de simetria do eixo parafuso e plano de deslizamento. A combinação de todas estas operações de simetria resulta num total de 230 grupos de espaço únicos descrevendo todas as simetrias de cristal possíveis.

Os elementos de fixação de um ponto

Os elementos do grupo espacial que fixam de um ponto do espaço são rotações, reflexões, o elemento identidade, e rotações impróprias.

Translações

As translações formam um subgrupo normal abeliano de categoria 3, a chamada rede de Bravais. Existem 14 tipos possíveis de redes de Bravais. O quociente entre o grupo de espaço e a rede de Bravais é um grupo finito, que é um dos 32 grupos pontuais possíveis.

Planos de deslizamento

Um plano de deslizamento é uma reflexão em um plano, seguida por uma translação paralela a esse plano. Isso é denotado pora,bouc, dependendo de qual o eixo ao longo do qual ocorre o deslizamento. Há também o deslizamento n, que é um deslizamento ao longo da metade de uma diagonal de uma face, e o deslizamento d, que é um quarto da distância ao longo de uma face ou de uma diagonal de espaço da célula unitária. Este último é o chamado plano de deslizamento do diamante pois ocorre na estrutura do diamante.

Eixos parafuso

Um eixo parafuso é uma rotação em torno de um eixo, seguida de uma translação ao longo da direção do eixo. Estes são denotadas por um número, n, para descrever o grau de rotação, onde o número corresponde ao total de operações que devem ser aplicadas para completar uma rotação completa (por exemplo, 3 significaria uma rotação de um terço do caminho ao redor do eixo de cada vez). O grau de translação é então adicionado como um índice que mostra o quão longe está ao longo do eixo de translação, como uma porção do vector de rede paralelo. Então, 2 ₁ é uma rotação dupla seguida de uma translação de 1/2 do vetor da rede.

Fórmula geral

A fórmula geral para a ação de um elemento de um grupo de espaço é

y=x.M +D

onde M é a sua matriz,D é o seu vetor, e na qual o elemento transforma o pontox no ponto y. Em geral, D = D(retículo) + D(M), em que D(M) é uma função única de M que é zero para M igual à identidade. As matrizes M formam um grupo pontual que é uma base do grupo de espaço; a rede tem de ser simétrica sob este grupo pontual.

A dimensão da rede pode ser menor que a dimensão global, resultando em um grupo de espaço "subperiódico". Para (dimensão global, dimensão da rede):

• (1,1): grupos de linha unidimensionais
• (2,1): Grupos de linha: grupos de friso bidimensionais
• (2,2): grupos papel de parede
• (3,1): grupos de linha tridimensionais; com os grupos pontuais cristalográficos 3D, os grupos vareta
• (3,2): grupos de camada
• (3,3): Os grupos de espaço discutidos neste artigo

Notação espacial para grupos

Há pelo menos oito métodos de nomear grupos espaciais. Alguns desses métodos podem atribuir diversos nomes diferentes para o mesmo grupo de espaço, pelo que no total há muitos milhares de nomes diferentes.

• Número. A União Internacional de Cristalografia publica tabelas de todos os tipos de grupos de espaço e atribui a cada um deles um número único entre 1 e 230. A numeração é arbitrária, exceto que os grupos com o mesmo sistema cristalino ou grupo pontual recebem números consecutivos.

• Símbolo internacional ou notação Hermann-Mauguin - notação Hermann-Mauguin (ou internacional) descreve a rede e alguns geradores para o grupo. Tem uma forma abreviada chamada símbolo internacional curto, que é a mais comumente usada em cristalografia, e geralmente consiste de um conjunto de quatro símbolos. O primeiro descreve a centralização da rede de Bravais (P,A,B,C,I,Rou F). Os três seguintes descrevem a mais proeminente operação de simetria visível quando projetada sobre uma das direções de alta simetria do cristal. Estes símbolos são os mesmos utilizados para grupos pontuais, com a adição de planos de deslizamento e eixos parafuso, descritos acima. A título de exemplo, o grupo de espaço do quartzo é P3₁21, mostrando que ele exibe centralização primitiva do motivo (i.e., uma vez por célula unitária), com um eixo parafuso triplo o e um eixo de rotação dupla. Note-se que não contém explicitamente o sistema cristalino, embora esta seja único para cada grupo de espaço (no caso deP3₁21, é trigonal).

No símbolo internacional o primeiro símbolo (3₁ neste exemplo) denota a simetria ao longo do eixo principal (eixo-c nos casos trigonais), o segundo (2 neste caso) ao longo de eixos de importância secundária (a e b) e o terceiro símbolo a simetria em outra direção. No caso trigonal existe também um grupo de espaço P3₁12. Neste grupo de espaço os eixos duplos não estão ao longo dos eixos a e b, mas numa direção rodada em 30^o.

Os símbolos internacionais e símbolos internacionais curtos para alguns dos grupos de espaço foram alterados ligeiramente entre 1935 e 2002, portanto vários grupos de espaço têm quatro símbolos diferentes de uso internacional.

• Notação Hall - notação de grupos de espaço com uma origem explícita. Os símbolos de translação, rotação e direção de eixo são claramente separados e os centros de inversão são definidos explicitamente. A construção e o formato da notação tornam-na particularmente apropriada para a geração de informação de simetria por computador. Por exemplo, o grupo número 3 tem três símbolos Hall: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).

• Notação Schönflies - os grupos de espaço com grupo pontual determinado são numerados por 1, 2, 3, ... (Na mesma ordem que o seu número internacional) e este número é adicionado como um sobrescrito ao símbolo Schönflies para o grupo pontual. Por exemplo, os grupos de números de 3 a 5, cujo grupo pontual é C₂ tem símbolos Schönflies C

¹ ₂

, C ² ₂

, C ³ ₂

.

• Símbolo Shubnikov

• 2D :Notação de orbivariedade e 3D: notação de fibrifold. Como o nome sugere, a notação de orbivariedade descreve a orbivariedade, dada pelo quociente do espaço euclidiano pelo grupo de espaço, ao invés de geradores do grupo de espaço. Foi introduzida por Conway e Thurston, e não é muito usada fora da matemática. Alguns dos grupos de espaço têm várias fibrifolds diferentes associadas a eles, e logo têm vários símbolos fibrifold diferentes.

• Notação Coxeter - grupos de simetria espacial e pontual, representados como modificações dos grupos Coxeter reflexionais puros.

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Referências

1. Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo, ed., International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry, ISBN 978-0-7923-6590-7, A 5th ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1107/97809553602060000100