Função injectiva

Na matemática, uma função injectiva (ou injetora) é uma função que preserva a distinção: nunca aponta elementos distintos de seu domínio para o mesmo elemento de seu contradomínio. Em outras palavras, cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio. Ou seja, Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ (pertencentes ao domínio da função), ${\displaystyle x_{1}}$ é diferente de ${\displaystyle x_{2}}$ implica que f(${\displaystyle x_{1}}$) é diferente de f(${\displaystyle x_{2}}$): ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}).}$

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  Uma função injetiva, mas não sobrejetiva (injeção, não é uma bijeção)
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  Uma função injetiva e sobrejetiva (bijeção)
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  Uma função sobrejetiva, mas não injetiva (sobrejeção, não é uma bijeção)
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  Uma função nem injetiva, nem sobrejetiva (também não é uma bijeção)

Graficamente, uma função ${\displaystyle f}$ é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Ocasionalmente, uma função injetiva de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ é denotada ${\displaystyle f:X\rightarrowtail Y,}$ usando uma seta com uma "cauda separada" (U+21A3 ↣ RIGHTWARDS ARROW WITH TAIL).^[1] O conjunto de funções injetivas de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ pode ser denominado ${\displaystyle Y^{\underline {X}}}$ usando uma notação derivada daquela usada para decrescimento de potências fatoriais, uma vez que se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são conjuntos finitos com respectivamente ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ elementos, o número de injeções de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ é ${\displaystyle n^{\underline {m}}.}$

Um monomorfismo é uma generalização de uma função injetiva na teoria das categorias.

Definição

Seja ${\displaystyle f}$ uma função cujo domínio é um conjunto ${\displaystyle X.}$ Diz-se que a função ${\displaystyle f}$ é injetiva desde que para todos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ em ${\displaystyle X,}$ sempre que ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ então ${\displaystyle a=b;}$ isto é, ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ implica ${\displaystyle a=b.}$ Equivalente, se ${\displaystyle a\neq b,}$ então ${\displaystyle f(a)\neq f(b).}$

Simbolicamente,

$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b}$$

que é logicamente equivalente à contrapositiva,

$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)}$$

Exemplos

• A função ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,}$ definida por ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ não é injectiva, pois existe pelo menos um ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle f(a)=f(-a),}$ por exemplo, para ${\displaystyle a=2.}$ Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, existem dois valores diferentes que possam substituir a variável ${\displaystyle x}$ para que o valor da função ${\displaystyle f(x)}$ seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
• A função ${\displaystyle f:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$ definida por ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ é injectiva, pois implica que ${\displaystyle f(a)}$ deve ser diferente de ${\displaystyle f(b),}$ para ${\displaystyle a\neq b.}$ Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável ${\displaystyle x}$ somente pelo número 2.
• A função ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,}$ definida por ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ é injectiva, pois implica que ${\displaystyle f(a)}$ deve ser diferente de ${\displaystyle f(b),}$ para ${\displaystyle a\neq b.}$ Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 8, poderíamos substituir a variável ${\displaystyle x}$ somente pelo número 2, enquanto que para que a função seja igual a -8, poderíamos substituir a variável ${\displaystyle x}$ somente pelo número -2.

Aplicações lineares

• Uma transformação linear ${\displaystyle T:U\rightarrow V}$ é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo ${\displaystyle ker(T)}$ — ou ainda, ${\displaystyle N(T)}$ — contiver apenas o vetor nulo e, pois, tiver dimensão zero — isto é, ${\displaystyle dim(ker(T))=0.}$

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T não é injetora → ${\displaystyle T(u)=T(v),}$ com ${\displaystyle u\neq v,}$ para algum ${\displaystyle u,v\in U.}$

Das propriedades da transformação linear:

→ ${\displaystyle T(u)-T(v)=0\Leftrightarrow T(u-v)=0}$

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

→ ${\displaystyle \{u-v\}\subseteq ker(T)\therefore ker(T)\neq \{0\}\rightarrow dim(ker(T))>0.}$

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se ${\displaystyle {\mbox{T é injetora}}\leftrightarrow ker(T)=\{0\}\leftrightarrow dim(ker(T))=0.}$

• Uma transformação linear ${\displaystyle A:E\rightarrow F}$ também é dita injetiva se, e somente se, leva vetores L.I em vetores L.I. (LI = linearmente independentes)

Segue a demonstração:

→ Prova da ida:

Hipótese: A é injetiva

Tese: A leva vetores LI em vetores LI.

Se ${\displaystyle v1,v2,...,vn\in E}$ são linearmente independentes provaremos que ${\displaystyle A(v1),A(v2),...,A(vn)\in F}$ são linearmente independentes.

Com efeito se ${\displaystyle \alpha 1.A(v1)+\alpha 2.A(v2)+...+\alpha n.A(vn)=0}$

Usando a linearidade de A:

⇒ ${\displaystyle A(\alpha 1.v1)+A(\alpha 2.v2)+...+A(\alpha n.vn)=0}$

⇒ ${\displaystyle A(\alpha 1.v1+\alpha 2.v2+...+\alpha n.vn)=0}$

Então temos que ${\displaystyle \alpha 1.v1+\alpha 2.v2+...+\alpha n.vn}$ pertence ao núcleo de ${\displaystyle A,}$ e como ${\displaystyle A}$ é injetiva, ${\displaystyle Ker(A)=\{0\},}$ ou seja,

${\displaystyle \alpha 1.v1+\alpha 2.v2+...+\alpha n.vn=0}$, como ${\displaystyle v1,v2,...,vn}$ são LI tem-se ${\displaystyle \alpha 1=\alpha 2=...=\alpha n=0}$, ou seja ${\displaystyle A(v1),A(v2),...,A(vn)}$ são linearmente independentes.

← Prova da volta:

Hipótese: A leva vetores LI em vetores LI.

Tese: A é injetiva.

Sendo ${\displaystyle v\neq 0,v\in E\Rightarrow \{v\}}$ é LI então ${\displaystyle \{A(v)\}}$ é ${\displaystyle {\mbox{LI}}\Rightarrow A(v)\neq 0,}$ portanto ${\displaystyle Ker(A)=\{0\}}$ e ${\displaystyle A}$ é injetiva.

Segue-se desse teorema que se ${\displaystyle E}$ tem dimensão finita, ${\displaystyle dim(F)\geq dim(E),}$ assim por exemplo não existe transformação linear injetiva de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Injeções podem ser desfeitas

Cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio. Assim, é possível 'desfazer' a função, ou seja, encontrar uma função inversa que retorne ao valor original.

Funções com inversas à esquerda são sempre injeções. Isto é, dado ${\displaystyle f:X\rightarrow Y,}$ se houver uma função ${\displaystyle g:Y\rightarrow X}$ tal que, para cada ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle g(f(x))=x}$$ (${\displaystyle f}$ pode ser desfeita por ${\displaystyle g}$)

então ${\displaystyle f}$ é injetiva. Nesse caso, ${\displaystyle g}$ é chamada de retração de ${\displaystyle f.}$ Por outro lado, ${\displaystyle f}$ é chamado de seção de ${\displaystyle g.}$

Inversamente, toda injeção ${\displaystyle f}$ com domínio não vazio tem uma ${\displaystyle g}$ inversa à esquerda, que pode ser definida fixando um elemento a no domínio de ${\displaystyle f}$ de modo que ${\displaystyle g(x)}$ seja igual à pré-imagem única de ${\displaystyle x}$ sob ${\displaystyle f,}$ se existir e ${\displaystyle g(x)=a}$ caso contrário.^[2]

A inversa à esquerda ${\displaystyle g}$ não é necessariamente um inverso de ${\displaystyle f}$ porque a composição na outra ordem, ${\displaystyle f\circ g,}$ pode diferir da identidade em ${\displaystyle Y.}$ Em outras palavras, uma função injetora pode ser "invertida" por uma inversa à esquerda, mas é não necessariamente invertível, o que requer que a função seja bijetiva.

Injeções podem tornar-se invertíveis

Na verdade, para transformar uma função injetora ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ em uma função bijetiva (portanto, invertível), basta substituir seu contradomínio ${\displaystyle Y}$ pelo seu intervalo real ${\displaystyle J=f(X).}$ Isto é, vamos ${\displaystyle g:X\rightarrow J}$ tal que ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle X;}$ então g é bijetiva. De fato, ${\displaystyle f}$ pode ser fatorada como ${\displaystyle incl_{J,Y}\circ g,}$ onde ${\displaystyle incl_{J,Y}}$ é a função de inclusão de ${\displaystyle J}$ em ${\displaystyle Y.}$

Mais geralmente, as funções parciais injetivas são chamadas de bijeções parciais.

Outras propriedades

• Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ são ambas injetivas, então ${\displaystyle f\circ g}$ é injetiva.

A composição de duas funções injetivas é injetiva

• Se ${\displaystyle g\circ f}$ é injetiva, então ${\displaystyle f}$ é injetiva (mas ${\displaystyle g}$ não precisa ser).
• ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ é injetiva se, e somente se, dadas quaisquer funções ${\displaystyle g,h:W\rightarrow X}$ sempre que ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ então ${\displaystyle g=h.}$ Em outras palavras, funções injetivas são precisamente os monomorfismos na categoria Conjunto de conjuntos.
• Se ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ é injetiva e ${\displaystyle A}$ é um subconjunto de ${\displaystyle X,}$ então ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}$ Assim, ${\displaystyle A}$ pode ser recuperado de sua imagem ${\displaystyle f(A).}$
• Se ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ é injetiva e ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são ambos subconjuntos de ${\displaystyle X,}$ então ${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}$
• Cada função ${\displaystyle h:W\rightarrow Y}$ pode ser decomposta como ${\displaystyle h=f\circ g}$ para uma injeção adequada ${\displaystyle f}$ e uma sobrejeção ${\displaystyle g.}$ Esta decomposição é única até o isomorfismo, e ${\displaystyle f}$ pode ser considerada como a função de inclusão do intervalo ${\displaystyle h(W)}$ de ${\displaystyle h}$ como um subconjunto do contradomínio ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle h.}$
• Se ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ é uma função injetiva, então ${\displaystyle Y}$ tem pelo menos tantos elementos quanto ${\displaystyle X,}$ no sentido de números cardinais. Em particular, se, além disso, houver uma injeção de ${\displaystyle Y\!<}$ para ${\displaystyle X,}$ então ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ terão o mesmo número cardinal. (Isso é conhecido como o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder.)
• Se tanto ${\displaystyle X}$ quanto ${\displaystyle Y}$ são finitos com o mesmo número de elementos, então ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ é injetiva se e somente se ${\displaystyle f}$ é sobrejetiva (nesse caso ${\displaystyle f}$ é bijetiva).
• Uma função injetiva que é um homomorfismo entre duas estruturas algébricas é uma incorporação.
• Ao contrário da sobrejetividade, que é uma relação entre o gráfico de uma função e seu contradomínio, a injetividade é uma propriedade do gráfico da função sozinha; isto é, se uma função ${\displaystyle f}$ é injetiva pode ser decidida considerando apenas o gráfico (e não o contradomínio) de ${\displaystyle f.}$

Provando que as funções são injetivas

Uma prova de que uma função ${\displaystyle f}$ é injetiva depende de como a função é apresentada e quais propriedades ela contém. Para funções que são dadas por alguma fórmula, há uma ideia básica. Usamos a contrapositiva da definição de injetividade, ou seja, se ${\displaystyle f(x)=f(y),}$ então ${\displaystyle x=y.}$ ^[3]

Exemplo 1

$${\displaystyle f=2x+3}$$

Prova: Seja ${\displaystyle f:X\rightarrow Y.}$ Suponha que ${\displaystyle f(x)=f(y).}$ Então, ${\displaystyle 2x+3=2y+3\Rightarrow 2x=2y\Rightarrow x=y.}$ Portanto, segue da definição que ${\displaystyle f}$ é injetiva.

Exemplo 2

$${\displaystyle h(x)={\frac {2x+5}{1+x^{2}}}}$$${\displaystyle h(x)}$ não é injetiva, já que para ${\displaystyle h(0)}$ e ${\displaystyle h{\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\bigr )}}$ temos ${\displaystyle h(0)=h{\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\bigr )}=5}$ , ou seja, ${\displaystyle h(x)=h(y)}$ com ${\displaystyle x\neq y}$.

Existem vários outros métodos para provar que uma função é injetiva. Por exemplo, no cálculo se ${\displaystyle f}$ é uma função diferenciável definida em algum intervalo, então é suficiente mostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Na álgebra linear, se ${\displaystyle f}$ é uma transformação linear, é suficiente mostrar que o núcleo de ${\displaystyle f}$ contém apenas o vetor zero. Se ${\displaystyle f}$ é uma função com domínio finito, basta olhar a lista de imagens de cada elemento de domínio e verificar se nenhuma imagem ocorre duas vezes na lista.

Ver também

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Wikilivros

• Função sobrejetiva
• Função bijectiva
• Teorema da função inversa

Notas

1. «Unicode» (PDF). Consultado em 11 de maio de 2013
2. Ao contrário da afirmação correspondente de que toda função sobrejetiva tem um inverso à direita, isso não requer o axioma da escolha, já que a existência de a é implicada pela não-vacuidade do domínio. No entanto, esta afirmação pode falhar em matemática menos convencional, como a matemática construtiva. Na matemática construtiva, a inclusão {0,1} → 'R' do conjunto de dois elementos nos reais não pode ter inversão à esquerda, pois violaria indecomposição, dando uma retração da reta real para o conjunto {0,1}.
3. Williams, Peter. «Proving Functions One-to-One». Cópia arquivada em 4 de junho de 2017

Referências

• Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis, ISBN 978-0-471-05464-1 2nd ed. , New York: John Wiley & Sons, p. 17 ff.
• Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, ISBN 978-0-387-90092-6, New York: Springer, p. 38 ff.

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Função injectiva

• Aula sobre os tipos de funções
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
• Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions