Fidelidade dos estados quânticos

Fidelidade dos estados quânticos, ou função de fidelidade, ou ainda função quântica de fidelidade, em Teoria de informação quântica, é u’a medida do "fechamento" (em inglês, closeness) de/entre dois estados quânticos. Não é medida no espaço de matrizes densidade. Costuma, quando não há possibilidade de confusão, ou se o assunto é tratado especifica e restritamente no domínio físico-químico quântico, ser reportada apenas por fidelidade, a bem da simplicidade.

Introdução

Em teoria de probabilidade, dadas duas variáveis aleatórias p = (p₁...p_n) e q = (q₁...q_n) no espaço de probabilidades X = {1,2...n}. A fidelidade de p e q é definida pela quantidade

${\displaystyle F(p,q)=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}.}$

Noutras palavras, a fidelidade F(p,q) é o produto escalar ou interno de ${\displaystyle ({\sqrt {p_{1}}},\cdots ,{\sqrt {p_{n}}})}$ e ${\displaystyle ({\sqrt {q_{1}}},\cdots ,{\sqrt {q_{n}}})}$ vistos como vetores no Espaço euclidiano. Observe que, quando p = q, F(p,q) = 1. Em geral, ${\displaystyle 0\leq F(p,q)\leq 1.}$

Fazendo-se as modificações apropriadas para a noção matricial de raiz quadrada, pode-se dizer que a definição acima fornece a função fidelidade de dois estados quânticos.

Definição

Dadas duas matrizes densidade ρ e σ, a função fidelidade é definida por:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {Tr} ({\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}).}$

Por M^½ de u’a matriz positiva semidefinida M, quer-se significar a unicidade da raiz quadrada dada pelo teorema espectral. O produto escalar ou interno euclidiano a partir da definição clássica é substituído pelo produto escalar de Hilbert-Schmidt. Quando se trata de estados clássicos, isto é, quando ρ e σ são comutativos, a definição dada coincide com aquela válida para função de densidade de probabilidade.

Observe-se, pela definição, que F é não-negativo, e F(ρ,ρ) = 1. Na seção seguinte será mostrado que ele não pode ser maior que 1.

Exemplos simples

Estados puros

Considerem-se estados puros dados por:

${\displaystyle \rho =|\phi \rangle \langle \phi |}$ and ${\displaystyle \sigma =|\psi \rangle \langle \psi |.}$ Sua fidelidade será:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {Tr} [\rho \;\sigma \rho ]^{\frac {1}{2}}=\operatorname {Tr} \;[|\phi \rangle \langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle \langle \phi |]^{\frac {1}{2}}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$

Isso é, algumas vezes, chamado superposição entre dois estados. Se — diga-se — ${\displaystyle |\phi \rangle }$ é um eigen-estado de um observável, e o sistema é preparado em ${\displaystyle |\psi \rangle ,}$ então F(ρ, σ)² é a probabilidade do sistema estar no estado ${\displaystyle |\phi \rangle }$ após a medida.

Estados comutativos

Sejam ρ e σ duas matrizes densidade comutativas. Assim, elas podem ser simultaneamente diagonalizadas por matrizes unitárias, de modo que se pode escrever:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|}$ e ${\displaystyle \sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|}$

para alguma base ortonormal ${\displaystyle \{|i\rangle \}.}$

O cálculo direto mostra que a fidelidade é:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}.}$

Isso mostra que, heuristicamente, fidelidade de estados quânticos é uma extensão genuína da noção advinda da teoria de probabilidades.

Algumas propriedades

Invariância unitária

O cálculo direto mostra que a fidelidade é preservada por evolução unitária, isto é:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})}$

para qualquer operador unitário U.

Teorema de Uhlmann

Viu-se que, para dois estados puros, sua fidelidade coincide com a superposição. O teorema de Uhlmann estende ou generalize essa afirmação para estados mistos, em termos de suas purificações:

Teorema Sejam ρ e σ duas matrizes densidade agindo sobre Cⁿ. Seja ρ^½ a raiz quadrada positiva única de ρ e

${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}\rho ^{\frac {1}{2}}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}}$

uma purificação quântica de ρ (logo ${\displaystyle {|e_{i}}}$ é uma base ortonormal).

Então, a seguinte igualdade é válida:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |}$

onde ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ é uma purificação de σ. Assim, em geral, a fidelidade é a máxima superposição entre as purificações.

Prova: Uma prova simples pode ser apresentada como segue. Seja |Ω > o vetor

${\displaystyle |\Omega \rangle =\sum |e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle }$

e σ^½ raiz quadrada positiva única de σ. Viu-se que, devido à liberdade unitária em fatorações de raiz quadrada e escolhidas bases ortonormais, uma purificação arbitrária de σ é da forma

${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{\frac {1}{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle }$

onde V_i's operadores unitários. Agora se calcula diretamente

${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\langle \Omega |(\rho ^{\frac {1}{2}}\otimes I)(\sigma ^{\frac {1}{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle =\operatorname {Tr} (\rho ^{\frac {1}{2}}\sigma ^{\frac {1}{2}}V_{1}V_{2}).}$

Mas, em geral, para qualquer matriz quadrada A e unitária U, é verdadeiro que |Tr(AU)| ≤ Tr (A^*A)^½. Ademais, igualdade é assegurada se U^* é o operador unitário na decomposição polar de A. Resta, pois, demonstrado diretamente o teorema de Uhlmann.

Consequências

Algumas consequências imediatas do teorema de Uhlmann são:

• Fidelidade é simétrica em seus argumentos, isto é F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Observe-se, contudo, que isso não é óbvio a partir da definição.
• F (ρ,σ) falha in [0,1], de acordo com a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
• F (ρ,σ) = 1 se e somente se ρ = σ, desde que Ψ_ρ = Ψ_σ implica ρ = σ.

Bibliografia

• JOZSA, R. Fidelity for mixed quantum states. Journal of Modern Optics, 1994, vol. 41, 2315-2323.