Fórmula integral de Cauchy

Em matemática, a fórmula integral de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin Louis Cauchy, é um teorema central na análise complexa. Ela pode ser expressa pelo fato de que uma função holomorfa, definida sobre e dentro de uma curva simples fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva.^[1]

Fórmula integral de Cauchy

O teorema

Seja ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ uma função holomorfa definida no conjunto simplesmente conexo ${\displaystyle U}$ e um contorno simplesmente fechado C em ${\displaystyle U}$. Então, temos que para todo z₀ no interior de C

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{f(z) \over z-z_{0}}\,dz}$

onde a integral de contorno é tomada em sentido anti-horário.^[1]

A prova dessa equação utiliza o teorema de integral de Cauchy e, assim como o teorema, necessita apenas que f seja analítica. Pode-se, a partir dessa fórmula e dessa exigência, deduzir que

${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}f}{dz^{n}}}\right|_{z=z_{0}}={\frac {n!}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz.}$

denominada integral de Cauchy generalizada.^[2][3] A integral de Cauchy em sua versão generalizada afirma que, se uma função é analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto e, além disso, são analíticas nesse ponto.^[2]

A ideia da prova

Para demonstrarmos a fórmula, começamos observando que a função holomorfa ${\displaystyle F:U-\{a\}\to \mathbb {C} }$ definida por ${\displaystyle F(z)={\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$ , por ter derivada nesse ponto, possui uma singularidade removível em ${\displaystyle z=z_{0}}$, e portanto vale o teorema integral de Cauchy: ${\displaystyle 0=\oint _{C}F(z)dz=\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz}$. Portanto, ${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\oint _{C}{\frac {f(a)}{z-a}}dz=f(a)2\pi i}$, o que implica o teorema.

Funções Não Holomorfas

Para uma função não holomorfa, as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, ou seja:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z^{*}}}\neq 0}$

e a fórmula de Cauchy torna-se

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint \limits _{\partial \Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\iint \limits _{\Gamma }{\frac {\partial f}{\partial z^{*}}}{\frac {dz\wedge dz^{*}}{z-z_{0}}}}$

importante notar que a 2-forma ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}{\frac {\partial f}{\partial z^{*}}}{\frac {dz\wedge dz^{*}}{z-z_{0}}}}$ se anula sempre que f é analítica, e retornamos à Fórmula de Cauchy usual.

Referências

1. Brown; Churchill, 2003, p. 157
2. Brown; Churchill, 2003, p. 161
3. Arfken; Weber, 2005, p. 426

Bibliografia

• ARFKEN, G. B.; WEBER, H. J. (2005). Mathematical Methods for Physicists 6th ed. Amsterdã: Academic Press. 1118 páginas !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• BROWN, James Ward; CHURCHILL, Ruel V. (2003). Complex Variable and Applications 7th ed. Boston: McGrall-Hill. 458 páginas !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)

Ligações externas

• «Lecture 30: The Cauchy Integral Formula» (PDF). por Dan Sloughter da Universidade de Furman