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Em matemática a fórmula Riemann-Siegel é uma fórmula assintótica para o erro da equação funcional aproximada da função zeta de Riemann, uma aproximação da função zeta pela soma de duas séries de Dirichlet finitas. Ela foi encontrada por Siegel (1932)[1] em manuscritos não publicados de Bernhard Riemann datando dos anos 1850. Siegel derivou-a da fórmula integral Riemann-Siegel, uma expressão da função zera envolvendo integrais de contorno. Ela é frequentemente usada para calcular valores da fórmula de Riemann-Siegel, algumas vezes em combinação com o algoritmo de Odlyzko-Schönhage o qual a acelera consideravelmente.
Se M e N são inteiros não negativos, então a função zeta é igual a
onde
é o fator aparecendo na equação funcional ζ(s) = γ(s)ζ(1−s), e
é uma integral de contorno na qual o contorno inicia e termina em +∞ e circula as singularidades de valor absoluto no máximo 2πM. A equação funcional aproximada da uma estimativa para o tamanho do termo erro.
Siegel (1932)[1] e Edwards (1974)[2] derivam a fórmula Riemann-Siegel disto por aplicação do método da descida mais íngreme a esta integral para obter uma expansão assintótica para o termo erro R(s) como uma série de potências negativas de Im(s).
Em aplicações s é normalmente sobre a linha crítica, e os inteiros positivos M e N são escolhidos para serem aproximadamente (2π Im(s))1/2. Gabcke (1979)[3] encontrou encontraram limites bom para o erro da fórmula de Riemann-Siegel.
Riemann mostrou que
onde o contorno de integração é uma linha de declive −1 passando entre 0 e 1 (Edwards, 1974, 7.9[2]).
Ele usou isto para obter a seguinte formula integral para a função zeta:
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