Espaço de Minkowski

Em física e matemática, espaço de Minkowski, também tratada de métrica de Minkowski, é a configuração matemática na qual a teoria da relatividade especial de Einstein é mais comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas com uma única dimensão do tempo para formar uma variedade quadrimensional para representar um espaço-tempo.

O espaço de Minkowski possui este nome em referência ao matemático alemão Hermann Minkowski.

Estrutura

Formalmente, o espaço de Minkowski é um campo vetorial real quadrimensional equipado com uma forma bilinear simétrica, não degenerada, com assinatura (-,+,+,+).

Elementos do espaço de Minkowski são chamados eventos ou quadrivetores.

Espaço de Minkowski é frequentemente denotado R^1,3 para enfatizar a assinatura, entretanto é também denotada M ⁴ ou simplesmente M.

O Produto interno no espaço de Minkowski

O que se chama de produto interno no espaço de Minkowski é similar ao produto interno euclidiano, com uma diferença fundamental: enquanto que em um produto interno a equação v.v = 0 tem como única solução o vetor nulo v = 0, no caso do espaço de Minkowski existem vários quadrivetores que a satisfazem.

Este produto interno gera uma geometria diferente da euclideana, a geometria geralmente associada a relatividade.

Considere ${\displaystyle M}$ sendo um vetor-espaço real quadrimensional. O produto interno Minkowski é uma função ${\displaystyle \eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$ (isto é, dado dois vetores quaisquer ${\displaystyle V,W}$ em ${\displaystyle M}$ define-se ${\displaystyle \eta (V,W)}$ como um número real) que satisfaz as propriedades (1), (2), (3) listadas aqui, bem como a propriedade (4) dada abaixo:

1.  bilinear: ${\displaystyle \eta (aU+V,W)\,=a\eta (U,W)+\eta (V,W)}$, ( ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \forall U,V,W\in M}$)

2.  simétrica: ${\displaystyle \eta (V,W)\,=\eta (W,V)}$ (${\displaystyle \forall V,W\in M}$)

3.  não degenerada: se ${\displaystyle \eta (V,W)\,=0}$ ${\displaystyle \forall W\in M}$, então ${\displaystyle V\,=0}$,

4.  O produto interno ${\displaystyle \eta }$ tem assinatura métrica (-,+,+,+)

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