Equação paramétrica

Equações paramétricas são um conjunto de equações que expressam um conjunto de quantidades como funções explícitas de número de variáveis independentes, conhecidas como parâmetros. Por exemplo, enquanto a equação de um círculo em coordenadas cartesianas é: ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},}$ um conjunto de equações paramétricas para o círculo pode ser:^[2]

Um exemplo de desenho criado a partir de equações paramétricas é a curva da borboleta^[1]

${\displaystyle x=r\cos t}$

${\displaystyle y=r\operatorname {sen} t,}$^[3]

Um exemplo da utilidade das equações paramétricas está na cinemática, onde esse tipo de equação serve para descrever a trajetória que um objeto pode assumir ao longo do tempo, este último serve como parâmetro da equação.^[4]

A noção de equação paramétrica tem sido generalizada para superfícies e variedades de mais dimensões, com o número de parâmetros igual ao número de dimensões e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço em que o distribuidor ou variedade é considerado. Nas curvas por exemplo um parâmetro é usado, sendo a dimensão igual a um, enquanto em superfícies a dimensão é dois e dois parâmetros são utilizados.

Aplicações

As equações paramétricas são frequentemente utilizadas na cinemática, por exemplo, utilizamos as equações paramétricas para descrever movimentos de corpos, a posição de uma partícula pode ser descrita como^[5]:

${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t)),}$

a qual pode ser escrita também como:

${\displaystyle r(t)=x(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z(t){\overset {\rightarrow }{k}}.}$

A velocidade, portanto, pode ser encontrada através da derivada dessa fórmula:

${\displaystyle r'(t)=(x'(t)+y'(t)+z'(t))}$

escrevendo na forma vetorial, obtemos:

${\displaystyle r'(t)=x'(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y'(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z'(t){\overset {\rightarrow }{k}}}$

Consequentemente, a aceleração é dada pela derivada da velocidade ou pela derivada segunda da posição, isto é:

${\displaystyle r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))}$

na forma vetorial, temos:

${\displaystyle r''(t)=x''(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y''{\overset {\rightarrow }{j}}+z''{\overset {\rightarrow }{k}}}$

Além disso, as equações paramétricas são utilizadas na área da computação (CAD - Computer-aided design) e também são usadas para resolver problemas de geometria, uma clássica utilização é a parametrização euclidiana para triângulos retângulos.

Exemplos em duas dimensões

Parábola

Parábola

A equação de uma parábola não parametrizada é

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

a qual pode ser parametrizada utilizando x=t, para um intervalo ${\displaystyle -\infty <t<\infty .}$ como:

${\displaystyle x=t}$ e ${\displaystyle y=t^{2}}$

Círculo

Círculo

A equação do círculo de raio igual a 1 comumente utilizada é:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$
para este mesmo círculo podemos escrever a seguinte equação parametrizada, para o intervalo de ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi$ :}

${\displaystyle (x,y)=(cos(t),sen(t))}$

ou se preferirmos podemos escrever na forma:

${\displaystyle x=cos(t)}$ e ${\displaystyle y=sen(t)}$

Hipérbole

• Hipérbole de abertura leste-oeste:

Hipérbole

A equação dessa hipérbole no sistema de coordenadas cartesianas é:

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura leste-oeste pode ser escrita como:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\end{aligned}}\quad }$

• Hipérbole de abertura norte-sul:

A equação dessa hipérbole no sistema cartesiano é:

${\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura norte-sul pode ser escrita como:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=b\tan t+h\\y=a\sec t+k\\\end{matrix}}\quad }$

sendo (h,k) o centro da hipérbole, 'a' o semi-eixo real, isto é, metade da distância entre os ramos, e 'b' o semi-eixo imaginário.

Elipse

Elipse

A curva no plano cartesiano de uma elipse é:

${\displaystyle {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}}$

com todos os coeficientes reais, sendo que quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação pode ser simplificada para:

${\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {x-h}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-k}{b}}\right)^{2}=1,}}$

sendo (h,k) o centro da elipse e 'a' e 'b' os semi-eixos da elipse.

A equação paramétrica canônica de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos 'a' e 'b' é dada pela seguinte fórmula:

${\displaystyle x=acos(t)}$e ${\displaystyle y=bsen(t)}$

Enquanto, a equação paramétrica geral dessa mesma curva pode ser dada, por:

${\displaystyle x=Xc+acos(t)cos(\varphi )-bsen(t)sen(\varphi )}$

${\displaystyle y=Yc+acos(t)sen(\varphi )+bsen(t)cos(\varphi )}$

t varia de ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$ Xc e Yc representam o centro da elipse e ${\displaystyle {\displaystyle \varphi }}$ é o ângulo entre eixo x e o maior eixo da elipse.

Exemplo em três dimensões

Hélice

Hélice

A hélice é uma curva tridimensional que combina a rotação em torno de um ponto com o movimento de translação desse mesmo ponto, a parametrização dessa forma tridimensional é dada pela seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\mathrm {sen} \,(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$

Em coordenadas cilíndricas, essas equações são escritas da seguinte forma:

${\displaystyle {\displaystyle r=1\,}}$

${\displaystyle {\displaystyle \theta =t\,}}$

${\displaystyle {\displaystyle h=t\,}}$