Equação de Poisson

Em matemática, a equação de Poisson é uma equação diferencial parcial com uma ampla utilidade em eletrostática, engenharia mecânica e física teórica. O seu nome é derivado do matemático e físico francês Siméon Denis Poisson.

Definição

Em um conjunto aberto ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, a equação de Poisson é definida por:^[1]

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

onde, ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ é uma função chamada de termo fonte e ${\displaystyle \Delta }$ denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

${\displaystyle \Delta \varphi$ :=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}}

Aqui, a incógnita ${\displaystyle \varphi }$ é uma função de ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por ${\displaystyle \nabla ^{2}}$. Esta notação é motivada pelo fato de que ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$, onde ${\displaystyle \nabla }$ denota o gradiente. Quando ${\displaystyle f\equiv 0}$ a equação é chamada de equação de Laplace.

Caso em duas dimensões

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, a equação de Poisson toma a forma^[2] (em coordenadas cartesianas):

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=f(x,y)}$.

Em coordenadas polares ${\displaystyle (r,~\theta )}$, a equação torna-se:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=h(r,\theta )}$,

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis ${\displaystyle x=r{\text{cos }}\theta }$, ${\displaystyle y=r{\text{sen }}\theta }$, ${\displaystyle g(r,\theta )=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta )}$ e ${\displaystyle h(r,\theta )=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta )}$.

Caso em três dimensões

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

${\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=f(x,y,z)}$.

Em coordenadas cilíndricas ${\displaystyle (\rho ,~\theta ,~z)}$, a equação torna-se:

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial g \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}g \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}g \over \partial z^{2}}=h(\rho ,\theta ,z)}$

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis ${\displaystyle x=r{\text{cos }}\theta }$, ${\displaystyle y=r{\text{sen }}\theta }$, ${\displaystyle z=z}$, ${\displaystyle g(r,\theta ,z)=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta ,z)}$ e ${\displaystyle h(r,\theta ,z)=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta ,z)}$.

Em coordenadas esféricas ${\displaystyle (r,\phi ,\theta )}$, a equação toma a forma:

${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial g \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \phi }{\partial \over \partial \phi }\left(\sin \phi {\partial g \over \partial \phi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\phi }{\partial ^{2}g \over \partial \theta ^{2}}=h(r,\phi ,\theta )}$.

Soluções

Para resolver uma equação de Poisson podem-se utilizar vários métodos como, por exemplo, uma função de Green ou métodos numéricos como o método das diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) ou o Element Free-Gallerkin Method (EFGM).

Solução em Rⁿ

Pode-se obter uma solução clássica para a equação de Poisson em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle -{\Delta }\varphi =g}$

supondo ${\displaystyle g\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$, i.e. ${\displaystyle g}$ é duas vezes continuamente diferenciável com suporte compacto. Neste caso, a solução é dada por:

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)g(y)dy}$

onde, ${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} ^{n}-{0}\to \mathbb {R} } é a solução fundamental da equação de Laplace.^[1]

Demonstração

Mostraremos, primeiro, que ${\displaystyle \varphi \in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ).}$ Note que:

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y)g(x-y)dy}$.

Como ${\displaystyle g\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$, temos

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\varphi (x+h\cdot e_{i})-\varphi (x)}{h}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y)\left[\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+he_{i}-y)-g(x-y)}{h}}\right]dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y){\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(x-y)dy}$

e, de forma análoga, temos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y){\frac {\partial g^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}(x-y)dy}$

o que mostra que ${\displaystyle \varphi \in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ).}$ No cálculo acima, ${\displaystyle e_{i}}$ denota o ${\displaystyle i}$-ésimo vetor da base canônica do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Mostraremos, agora, ${\displaystyle -\Delta \varphi =g}$. Como ${\displaystyle \Phi }$ tem uma singularidade em ${\displaystyle 0}$, tomamos ${\displaystyle \varepsilon >0}$ e escrevemos:^[1]

(1)\quad ${\displaystyle \Delta \varphi (x)=\int _{B(0,\varepsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy+\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(x,\varepsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy}$

Aqui, ${\displaystyle B(0,\varepsilon )}$ denota a bola de centro ${\displaystyle 0}$ e raio ${\displaystyle \varepsilon }$. Estimando o primeiro termo, vemos que:

(2)\quad ${\displaystyle \left|\int _{B(0,\epsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy\right|\leq \left\{{\begin{array}{ll}C||D^{2}g||_{\infty }\varepsilon ^{2}|\ln \varepsilon |&,n=2\\C||D^{2}g||_{\infty }\varepsilon ^{2}&,n\geq 3\end{array}}\right.}$

Aqui, ${\displaystyle ||\cdot ||_{\infty }}$ denota a norma ${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$. Já o segundo termo pode ser integrado por partes, o que nos fornece:

(3)\quad ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}-B(x,\epsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy=-\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )}D\Phi (y)\cdot D_{y}g(x-y)dy+\int _{\partial B(0,\varepsilon )}\Phi (y){\frac {\partial g}{\partial \nu }}(x-y)dS(y)}$

Aqui, ${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \nu }}}$ denota a derivada normal de ${\displaystyle g}$. Estimando este último termo, obtemos:

(4)\quad ${\displaystyle \left|\int _{\partial B(0,\varepsilon )}\Phi (y){\frac {\partial g}{\partial \nu }}(x-y)dS(y)\right|\leq \left\{{\begin{array}{ll}C||Dg||_{\infty }\varepsilon |\ln \varepsilon |&,n=2\\C||Dg||_{\infty }\varepsilon &,n\geq 3\end{array}}\right.}$

Se integrarmos por partes o penúltimo termo de (3) novamente, vemos que:

(5)\quad ${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )}D\Phi (y)\cdot D_{y}g(x-y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )}\Delta \Phi (y)g(x-y)dy-\int _{\partial B(0,\epsilon )}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}(y)g(x-y)dS(y)}$

Aqui, o penúltimo termo é nulo, pois ${\displaystyle \Delta \Phi \equiv 0}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )}$. E, este último termo é tal que:

(6)\quad ${\displaystyle \int _{\partial B(0,\epsilon )}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}(y)g(x-y)dS(y)={\frac {1}{n\alpha (n)\varepsilon ^{n-1}}}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}g(y)dS(y)\to g(x)\quad {\text{quando}}\quad \varepsilon \to 0}$

pois, notemos que o termo a direita deste símbolo de igualdade é a média de ${\displaystyle g}$ sobre a fronteira da bola ${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$. Voltando a (1) e usando as conclusões de (2)-(6), concluímos que ${\displaystyle -\Delta \varphi =g}$.

Condições de contorno

A equação de Poisson em domínios limitados deve ser complementada com condições de contorno.

Condição de contorno de Dirichlet

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Dirichlet quando a função incógnita ${\displaystyle \varphi }$ é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&f,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.}$

Unicidade

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se ${\displaystyle D}$ é conexo, ${\displaystyle \varphi \in C^{2}(D)\cap C({\bar {D}})}$ e ${\displaystyle g\in C(\partial D)}$, então existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.^[1]

A unicidade de solução também é garantida mesmo que ${\displaystyle D}$ não seja conexo. Com efeito, assumindo ${\displaystyle D}$ aberto, limitado, ${\displaystyle \partial D\in C^{1}}$ e ${\displaystyle \varphi ,~{\tilde {\varphi }}\in C^{2}(U)}$ duas soluções do mesmo problema acima, então tomando ${\displaystyle u=\varphi -{\tilde {\varphi }}}$ temos:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\triangle u&=&0,\quad &x\in D\\u&=&0,&x\in \partial D\end{array}}.}$

Agora, usando de integração por partes, obtemos:

${\displaystyle \int _{D}\|D\,u\|^{2}\,dx=-\int _{D}u\Delta u\,dx=0}$

o que implica que ${\displaystyle D\,u=0}$ que, por sua vez, implica ${\displaystyle u}$ constante. Como ${\displaystyle u=0}$ em ${\displaystyle \partial D}$, temos ${\displaystyle u=0}$ em ${\displaystyle {\bar {D}}}$, i.e. ${\displaystyle \varphi ={\tilde {\varphi }}}$, como queríamos demonstrar.

Condição de contorno de Neumann

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Neumann quando a derivada normal da função incógnita ${\displaystyle \varphi }$ é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&f,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.}$

Referências

1. Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743
2. Figueiredo, Djairo (1987). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 8524400269