Fecho algébrico

Dado um corpo F, dizemos que uma extensão E de F é um fecho algébrico de F quando E é uma extensão algébrica que é algebricamente fechada, isto é, contém todas as raizes de polinómios com coeficientes em F.^[1] Em certo sentido (isomorfismo), cada corpo F tem apenas um fecho algébrico, pelo que este é por vezes referido como o fecho algébrico de F.^[2]

Teoremas

• Unicidade: se dois corpos ${\displaystyle E_{1}}$ e ${\displaystyle E_{2}}$ são fechos algébricos de F, então eles são isomorfos.^[1]
• Existência: o axioma da escolha permite construir o fecho algébrico de qualquer corpo.^[2]

Exemplos

• O fecho algébrico do corpo dos números racionais é chamado de conjunto dos números algébricos. Nem todo número algébrico é real (as soluções de x² + 1 = 0, por exemplo), e nem todo número real é algébrico (estes números são chamados de números transcendentes reais; e e pi são exemplos).^[1]
• O fecho algébrico do corpo dos números reais é o corpo dos números complexos.^[2]

Ligações externas

• Algebraic Closure - MathWorld (em inglês)

Referências

1. Paulo A. Martin (2010). Grupos, Corpos e Teoria de Galois. São Paulo: Livraria da Física. p. 228--231. ISBN 9788578610654
2. John B. Fraleigh (1994). A First Course in Abstract Algebra (em inglês) 5 ed. [S.l.]: Addilson-Wesley. p. 418--420. ISBN 0201534673

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