Conjunção lógica

A conjunção é uma operação na lógica matemática, que pode ser ligada à operação de interseção de conjuntos. A conjunção é representada pelo conectivo lógico ∧, e em programação por AND ou && que = a letra E Ex: João ∧ Maria vão ao shopping A conjunção lógica pode ainda ser representada pelo símbolo do produto.^[1]

Definição

Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados:

• Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1.
• Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0.

A conjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade:

a	b	a ∧ b
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

ou de forma equivalente

a	b	a ∧ b
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Portanto pode ainda ser representada pela multiplicação, que dá o mesmo resultado, se a e b forem 0 ou 1.

Outra interpretação é a da lógica fuzzy, que generaliza pela equivalência com o mínimo(a,b).

Interseção de conjuntos

A operação de conjunção lógica está ainda relacionada com a interseção de conjuntos.

Um elemento está na intersecção dos conjuntos apenas se for verdade que está em ambos.^[2]

${\displaystyle x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\wedge (x\in B)}$

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.^[3]

Conjunção semântica

A operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção semântica e.

Suponham-se duas frases quaisquer:

${\displaystyle a\equiv est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora}$

${\displaystyle b\equiv eu\ estou\ dentro\ de\ casa}$

${\displaystyle a\land b\equiv (est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora)\ e\ (eu\ estou\ dentro\ de\ casa)}$

A conjunção só é verdadeira se ambas as frases forem. Se não estiver chovendo, a conjunção é falsa (se não estiver dentro de casa, também).

Convém notar que na linguagem vulgar a conjunção "e" pode ter um significado aditivo, não relacionado com o significado lógico.

Propriedades

A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.

Com uma tabela de verdade pode demonstrar-se a propriedade associativa

${\displaystyle ((a\land b)\land c)\ }$ é igual a ${\displaystyle \ (a\land (b\land c))}$

e portanto neste caso basta escrever

${\displaystyle a\land b\land c}$

sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.

A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:

• ${\displaystyle a\land b\equiv b\land a\quad \$ :} (comutatividade)
• ${\displaystyle \left(a\land b\right)\land c\equiv a\land \left(b\land c\right)\quad \$ :} (associatividade)
• ${\displaystyle a\land b\equiv \neg \left(\neg a\lor \neg b\right)\quad \$ :} (leis de De Morgan)
• ${\displaystyle a\land \neg a\equiv 0\quad \$ :} (a contradição é sempre falsa)
• ${\displaystyle a\land 1\equiv a\quad \$ :} (a verdade é o elemento neutro da conjunção)
• ${\displaystyle a\land 0\equiv 0\quad \$ :} (a falsidade é o elemento absorvente da conjunção)
• ${\displaystyle a\land \left(b\lor c\right)\equiv \left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)\quad \$ :} (distributividade em relação à disjunção lógica)

Ver também

• Disjunção lógica

Referências

1. Primary mathematics:Boolean logic
2. Piotr Lukowski (2011). Paradoxes. USA: Springer; 2011 edition. ISBN 978-9400714755
3. Richard Nicholas Schmidt (1970). Introduction to Computer Science and Data Processing. USA: Holt,Rinehart & Winston of Canada Ltd; 2nd edition. ISBN 978-0030835926

Ligações externas

• Enciclopédia da matemática (em inglês)

• Portal da matemática